XXIV. — Intégrales normales de troisième espèce

On trouverait les variations de l'intégrale de troisième espèce comme on a trouvé celles de l'intégrale de première espèce; mais, outre les périodes correspondant aux points de ramification, les intégrales de troisième espèce ont encore deux périodes aTiy^ — i, correspondant à leurs infinis logarithmiques.

Soit S(^,, Ço) une intégrale de troisième espèce possédant

ÉTUDE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. ^Og

seulement les deux infinis ^, et ^^ 5 elle contient p paramètres variables. On les déterminera comme il suit : appelons u^, U21 . . ' ^ Up p intégrales normales de première espèce et 2 a,, 2 ao, . . . , 'ict.p p périodes de S qui correspondent à ses points de ramifications ; posons

TT y — I TZ \/ — I 71 y/ — I

Sironfaitvarier.r de manière que z^i, i^o 5 •• ., z//7 augmentent de 2 7r y/ — I , on voit que II ne variera pas et, par conséquent, la fonction II aura perdu une moitié de ses périodes; cette intégrale II est ce que l'on appelle une intégrale normale àç, troisième espèce.

XXV. — Relations entre les périodes de deux intégrales de troisième espèce.

JNous considérerons deux intégrales de troisième espèce S(?, ?'), et S(a, a') aux infinis \ et $', a et a^ Les raisonnements qui nous ont permis de trouver une relation entre les périodes des intégrales de première espèce vont nous permettre de trouver une relation entre les périodes des intégrales de troisième espèce.

Nous considérerons l'intégrale

et nous retendrons à tout le contour de la surface de Riemann rendue monadelphe^ cettç intégrale ne sera pas nulle, parce

que la quantité placée sous le signe / devient infinie en ^, ^',

a et a'. Or nous avons vu (p. Sgô) que les résidus de S(?, ?') étaient + 1 et — i en Ç et i', de sorte que la valeur de notre intégrale, au lieu d'être zéro, sera

271/111 rjr\/S(a,a')-y''jS(^,^')l

4lO CHAPITRE XI.

et que, en appelant A'f', A'j^', ... les intégrales / dS(^, ^') prises le long des sections r, . . . , on trouvera

-W^[^^<^S(a,V)jr"rfS(^,r)]=2[BrAr-Bl:"Af].

Si l'on applique cette formule à des intégrales normales, les périodes B par exemple ayant disparu, le second membre de cette formule sera nul, et l'on aura

J dU{a,a')=J^ dna,^').

C'est dans cette formule que consiste le théorème dit de l'échange du paramètre et de V argument. Dans une intégrale de troisième espèce les limites sont les arguments, les infinis sont les paramètres.

On trouverait d'une façon analogue une relation entre les périodes d'une intégrale abélienne et d'une intégrale de fonction rationnelle. Nous ne chercherons pas cette relation,parce qu'elle conduit au théorème que nous avons déjà trouvé par une autre voie comme cas particulier du théorème d'Abel, ou plutôt comme l'expression sous une autre forme de ce théorème qui a déjà été interprété de tant de manières.