XXVI. — Remarques au sujet du théorème d'Abel

En général, si l'on coupe une courbe /= o de degré m par une courbe ({; = o de degré /2, on obtient mn points d'intersection. Ces mn points ne peuvent pas être choisis arbitrairement {voir un Mémoire de Jacobi, C relie, t. XV). En effet :

1° bi n<^m^ on peut se donner ^ -<^/nn points

d'intersection ; la courbe ^ = o est déterminée par ces points

^ 1 n(n-+-3) lin — /i -f- 3 . • ^ jv *

et les mn ^ = ji autres points a inter-

section sont déterminés.

ÉTUDE DES FONCTIONS ABÉLIENNES, ^lî

2° Si n^m, on ne change pas le syslème des intersections des courbes /= o, tj> ^ o en substituant à la courbe <]; = o la courbe qui a pour équation

(p désignant un polynôme de degré n — m. Or on peut déterminer cp de manière à faire disparaître de

■ ^ coethcients; la courbe (i) ne contiendra plus alors que

{n-\-i)(n-h2) (n — m-^iYn — m. -1-2) (m — i){Tn — 2)

I = mn

coefficients arbitraires. Or les courbes (i) et (J; = o déterminent les intersections de t|; = o ety=: o, comme nous venons

de l'observer; mn — ^^ ^points d'intersection de

fz=o, ^ = 0 étant donnes, les ^ — ^autres sont

donc déterminés.

Ces conclusions sont inexactes quand, parmi les points d'intersection donnés, se trouvent des points multiples de /== o. En effet, si, p^-rmi les points d'intersection de /= o et ij>.== o, il y a des points doubles def= o, ces points déterminent chacun un coefficient de ^ = o, mais ils comptent pour deux parmi les mn intersections des deux courbes.

Supposons n = m — i ou n = m — 2 ; dans ces deux cas,

dn( n -{- 3) . ,,. . 1

onnant — ^ — ; points d intersection, les autres sont

au nombre de

comme il est facile de s'en convaincre en remplaçant dans le premier membre de cette formule n par m — i ou m — 2, pourvu que, parmi les points donnés, il n'y ait pas de point multiple de /r=r o. Si, au contraire, parmi les points don-

4l2 CHAPITRE XI.

nés, se trouvent tous les points multiples dey*:= o que nous supposerons au nombre de 8 (ou en nombre équivalent à 8 points doubles ordinaires), on pourra se donner toujours

'■ S points de ^J; qui seront simples pour /, plus les

8 points doubles, et il ne restera plus que

mn ^ — 0 = ^ ^^ i — 0 = p

points d'intersection à déterminer au moyen des premiers, p désignant le genre de/= o.

Ainsi, en résumé, en supposant n=^ m — i ou n =^ m — 2, on peut choisir arbitrairement nin — p points d'intersection de f^=^ o, t{^ =r o; les p autres seront déterminés.