XXVII. — Intégration d'un système abélien. Soit

un système d'intégrales abéliennes normales de première espèce. En vertu du théorème d'Abel, si l'on coupe la courbe/"^ o par la courbe ^ = o algébrique, on aura, entre les coordonnées des points {x^ , jki), . . . , {x^^ y^) d'intersection, les relations

Y (^x{Xi,yi)dxi

^ M^i.yi)

(') ( ^ M^^yù

yi (:it{xi,y{)dxi ^^

Mooi.yi)

ou plutôt ces relations n'existeront qu'entre les points \^ariables des intersections dey== o et ^j^ = o. Supposons, pour

ÉTUDE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. 4l3

fixer les idées, le degré n de ^ égal km — 2, les inlersections de / et à seront au nombre de m{/7i — 2); donnons-nous

OU ^ -^ points d intersection des deux

courbes, parmi lesquels se trouveront les 8 points doubles dey= o, il y aura encore

points d'intersection; ce nombre est égal à

dont la position dépendra des premiers; la différence entre ce nombre et le nombre des points donnés est

c'est-à-dire m — 2. Ainsi le nombre des points que l'on peut choisir, abstraction faite des points doubles, excède le nombre /?; on peut donc supposer que p de ces points choisis soient fixes.

En résumé, parmi les intersections des courbes /=o, ^ = 0, il y a :

1° ô points doubles de/= o, (a);

2° p points fixes simples de f= o, (a);

^^ m — 2 points variables choisis arbitrairement, {x')',

^° p points variables dont la position dépend de celle des précédents, (œ) (en sorte que ik = m — 2 +/>).

Appelons Xi , û02y . . . , ^^j les abscisses des derniers points ; appelons Xp^i, ..., x^ les abscisses des autres points variables : les équations (i)auront lieu entre les points variables.

Les équations (1) donnent lieu aux/> intégrales

Mais on peut remplacer ces équations transcendantes, dans

lesquelles Ci > Co, . . . , Cp sont des valeurs de ^i , ^2, • • • , ^y, pour Xp^^ = Cp^n . . . , par d'autres fournissant les mêmes valeurs de ^,, X2, ... et algébriques.

Il suffit pour cela de chercher la résultante R = o de/= o, fh = o provenant de l'élimination de jk; si l'on divise R par le produit des facteurs de la forme x — ;r^- et ^ — ai, x'i et ai désignant les coordonnées des points d'intersection variables et fixes que l'on peut choisir, le quotient

Ao xP — Al xP-'^ -h A2 xP-'^ — . . . it Ap

sera le produit des facteurs i^x — x^i^x — ^2) en sorte que l'on aura

yx Xp)^

Ao A2

X1X2 . . . Xp — -r— :

etces équations algébriques (3) feront connaître ^1,^2? ...,^/), aussi bien que les équations (2); elles renferment les constantes arbitraires a< , a^^ • . . , ap^ qui sont les abscisses des p points d'intersection fixes de /= o et «j; = o, qui sont simples pour /= o.