XXVIII. — Addition et inversion
Considérons la courbe /= o d'ordre m, et coupons-la par une courbe variable ^ = o d'ordre m — 2, que nous ferons passer par ses 0 points doubles et par m — 2 autres points fixes de/= o, il restera
autres points d'intersection variables, que nous appellerons
(^,,7,), (^2,72), ..., i^p, rp)^^{^\,y\)7 (•^2>r2)5 •••>
ÉTUDE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. 4l5
(^' y'p). Le théorème J'Abel nous apprend qu'entre ces points on aura les relations
dx;
Qii^'ny,) .,
V ^\K^h ri) ^M^'hy'i)
dx'i = o,
Q.p{^i. n) ^^. , V Qp(^/' y'i) ^'
or, si l'on pose
Qpi^i,yi)
CLXî ICp y
^X M^'hy'i
on pourra supposer ces équations résolues par rapport à ^i, ^^2, . . . , j:^ , .^2, ... et poser
^1 = Xi(Mi, M2, . .., Wp), 372 = Xa, ...,
Les équations (i) intégrées donnent
(3) Ui-^Vi— W^j ^«2 4-^2 = H^2j •••»
tVi
W2-, . . . désignant des constantes que l'on peut repré-
4l6 CHAPITRE XI.
senter ainsi
^ . . 'Qp(^i,yMo^}
et d'où l'on tire OU bien
Mais on peut remarquer que les équations (3), en vertu desquelles Ui + (^1, U2-h^2i • • • sont constantes, sont les intégrales de (i) et que l'on peut trouver d'une autre manière les intégrales de (i); ces intégrales sont les relations algébriques qui existent entre ûOi , x^^ . . . , ^^ et x\ , x^^ . . . , x ' pour trouver ces relations, on élimine y entre /= o et ^ = o : la résultante R = o a pour racines ^<, ..., Xp^ x\^ ..., x ^ les X des ô points doubles de/= o et les m — 2 points fixes communs à/=o et ^ = 0; il sera alors facile de former l'équation qui a pour racines seulement les Xi et les x\. Soit
Ao^2/j| Ai^2p-i-f-..,+ Aa« = o
cette équation.
On en déduira
Les quantités Y"'^? -~i .•• ne contiennent que les coordonnées
des points fixes d'intersection de / et ']; = o : ce sont donc des quantités constantes ou des fonctions de w^^ w^^ ....
ÉTUDE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. ^ly
Les formules précédentes donnent alors ou bien
^li(Ui, U2, •.')-^^M^U^2, •■')=^l['^l{Ui-hVi, ...), ^2, ..•]» j
et ces relations sont algébriques. On voit donc qu'«7 existe p relations algébriques entre
'ki{Ui, U^, , . ., Up), ^2(^15 "2 j " •■> Up), . . .,
Xi(p,, V2, '-, Vp\ X2((^i, P2, ..., Vp),
et
gui permettent de calculer ces p dernières quantités en fonctions des ip autres.
C'est en cela que consiste le théorème de l'addition des fonctions abéliennes (Hermite, Comptes rendus^ t. XVIII, eV Journal de Liouville, t. IX, i^^ série).
