XXIX. — Des fonctions 0 de plusieurs arguments

En suivant le fil des analogies fournies par la théorie des fonctions elliptiques, on posera

(1) 0(371, X.,, ..,, ^/,) = 2^. . . e^^i^i+^^ii^i'^i,

le signe X^* • • s'étendant aux valeurs ^4, A^2, , , ,, np entières comprises entre — co et -h co, en supposant aij =■ ajt. Si ^^aijninj est une somme de p carrés négatifs, ou si seulement la partie réelle de ^^a^jn^nj se décompose enp carrés

négatifs, ce que nous supposerons, la série (i) sera convergente. En effet, soient bij la partie réelle de aij, ?/ celle L. — Traité d'Analyse, IV. 27

4ï8 CHAPITRE XI.

de Xi^ il suffît de prouver que la série

Ii;.,

Q^nili-+^bijninj

est convergente; or elle l'est, en vertu d'un théorème connu de Caucliy, car l'intégrale

/ / ... e^«' Ij+^bij mnj ^^^ ^^2 ^ ^^^

est finie; pour s'en assurer, il suffît de prendre pour variables les racines Ni, N2, . . . , N^ des carrés dans lesquels on peut

décomposer ^^bijninj; cette intégrale devient alors

X< , X2, . . . désignent des fonctions linéaires de ^, , ^oj * • • et

le déterminant ,/t.t^' t>.t^' "\ est une constante. L'intégrale en

question est donc finie, et sa valeur pourrait même être évaluée au moyen de formules connues.

Pour abréger, nous poserons

àfip

drn

= 2Wp;

nous aurons alors

et l'on reconnaît immédiatement que Ai, k2, . . • désignant

ÉTUDE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. f\ig

des entiers,

(2) e(— Xi, — 372, ...)= 0(^i> ^2, •••)»

(3) 6(^1 -+- 2/1111 y/— 1, 3:^2 H- 2 A-2 71 y/ — i, . . .) = &icci, x^, . . .),

(4) 6(^1+ 27171,, 0^2 + 2nT2, •••» ^/>+2OTp)

= e(a7i, ^2, . . -, Xp)e-\^'^i^i-^^\,

v<, Vo, .... v^ désignant des entiers quelconques. Les formules (2) et (3) sont évidentes; pour démontrer la dernière, observons que

= ^ V^ . . , gl!(/7,-t-Vj).r,-i-'];(«iH-v,,«4+yî,...)— Svj.r,-— CT• orlaformule(I)ne change pas quand on change /i, en /?, + v,^ /Î2 en /i2 + Vo, ... ; on a donc

(d{...Xi-\-1TSl, ...)=e(...2^,-, ...)e-Sv,.ri-C7^

ce qu'il fallait prouver.

La fonction 0 peut s'écrire sous la forme

et aussi sous la forme

^\ . . . e-2nia-,-4-4^(«,...)| on a donc, en prenant la demi-somme des résultats,

Si, quel que soil /i, on a

2,^i^i-^ ^^i^t + ^ ^'^/^/ + rr? = — ^^niTi-{-{ik -h ijîr / — i,

k désignant un entier, on aura 0= o.

Cette équation peut s'écrire

V( 2 /i/ + Vi)xi +^(v/ -+- 2 ni)vsi = (2^ 4- i)tt y/— I

OU bien

\ (2/Z/ + v/)(a7/+ TîT/) = (2^:+ i)7r y/— I-

Si l'on pose alors

Xi = — HT/ -H N/TT y/ — I ,

il suffira que N^v/N/soitun nombreimpair pour que ^, , ^25 • •• soit une solution de 0 = o.

XXX. — Sur une fonction d'une variable déduite des fonctions B.

Supposons que, dans la fonction

0(^1, x., ..., ^/,)=2^... e^^i^i^'^, on pose

371 = ^1— Cl, X.2— V2— C2, ..., Xp=z Çp—Cp,

Cj, C2. ... désignant des constantes et t^i, (^o, •••^ ^> un système de p intégrales normales de première espèce ayant pour périodes les 2^^;, nous poserons (*)

6(37) = e((^l — Cl, P2 — C2, . . . , t';, — C/,).

Pour une même valeur de x , ç^ — Ct, ^2 — Coj ... peuvent différer de multiples quelconques des périodes, en sorte que,

(*) Cela est permis puisque les parties réelles des périodes sont telles que 4* est une somme de carrés négatifs.

ÉTUDE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. f[2l

pour une même valeur de x, la fonction Q(^) peut prendre une infinité de valeurs de la forme

Toutefois, la fonction 9(.r) reste monodrome sur la surface de Riemann rendue monadelphe. L'intégrale

prise le long du contour de la surface en question, fera connaître le nombre des racines de l'équation 9 =o.

Or l'intégrale N est prise deux fois le long des sections r, s, (7, une fois à gauche, une fois à droite, et chaque fois dans des sens différents.

Or, à gauche et à droite d'une section s, les çi ont la même valeur, les intégrales prises le long des sections s se détruisent ; à gauche et à droite d'une rétrosection a', t^^ prend des valeurs qui diffèrent entre elles d'une quantité B^- qui est égale à o ou

2':Ty/ — I, les valeurs de ^ seront alors égales et les rétrosec-

tions r ne fourniront pas de termes finis à l'intégrale N. Enfin, si l'on considère l'intégrale prise le long d'une section o-, le long d'une telle section sur les deux bords opposés, i^i a des valeurs

différant entre elles de 2aij; ^ aura donc des valeurs respec-

0' 6' di^i IV , 1 I 1 1

tives : TT et TT ;— î 1 intesfrale le lonff de cette section sera

a b dx ^ ^

donc 2 71 )J — 1 et, comme il y a/? sections c-, on voit que

Ainsi la fonction ^ a p zéros.

Les zéros de la fonction 9 satisfont à une condition que nous allons déduire de la considération de l'intégrale

— ^-= / i^i j- dx,

.TzJ—lJ ^

étendue tout le long du contour de la surface de Riemann

rendue monade] phe; cette intégrale, dans laquelle vi désigne une intégrale quelconque normale de première espèce, est égale l\^Vi{xf(^ y^)^ Xk-, y h désignant l'un quelconque des zéros de 8(a:).

D'autre part, pour évaluer l'intégrale en question, on peut procéder comme on l'a fait pour la précédente : le long des sections 5, l'intégrale est nulle; le long des sections /", Vi prend à gauche et à droite de la section des valeurs différant de

271 y/ — ij -K prend alors des valeurs égales, en sorte que le

long d'une seule de ces sections l'intégrale prend la valeur

/fi' ^ dx^ l'intégrale étant étendue tout le long de la section.

Le long d'une section a-, vt prend sur les deux bords des

valeurs différentes de laij et ^ des valeurs différant de -r^:

l'intégrale le long d'une telle section sera donc

-^ (aa,v/| do. - 2 auf±L d=c -Jn ^ d:c

dx On peut donc écrire

Dans cette équation, remplaçons les constantes c, , C2, . . . , Cp par d'autres c'^ , C2, . . . , c et retranchons les résultats; en appelant cc^^ y\ ce que devient alors Xj^^ y^^ puis retranchant l'équation ainsi obtenue de la précédente, nous aurons

^^^"^i^ock, yk)—Vi{x',,,y'k)\

8| désignant ce que devient 9 quand on y met c'^ , c'^, ... à la place de c<, Co, ....

Or j -^ dx est la quantité dont varie logO(^) le long d'une

section r/; cette quantité este/, plus une quantité indépendante de Ci. Au contraire, un raisonnement analogue nous

^ dx est nul; donc

^i^ii^A; y/c) — Ci\ — \^Vi(x'f„ y,,)— C'A

est une constante indépendante de Ci et c'-, et qui ne dépend que de Xq et des coefficients de f. On peut donc poser

Ki désignant une quantité indépendante de Ci.