XXXI. — Suite des propriétés de la fonction

On peut former une fonction 8 ayant des zéros donnés. En effet, on a vu que les zéros Xk, yn satisfaisaient à la relation

^^Vi{^k, Yk)— Ci = R/ ou

Ci=^'^Vi<^xk, yk)~^i\

formons la fonction

0(a;) = er..., Vi-^Vi{xk,yk)-^^h ...].

Je dis qu'elle admettra les zéros donnés; en effet, appelons ^^\->y\)i (■^27 y^)» • • • ses zéros : on devra avoir

^^Vi{oc'k, y'k) —^^Vi{xk, yk) + R/ = ^i

OU

^i'ii^'k, y'k) = ^^ii^k, yk),

pour «=: I, 2, 3, ...,/?. Je dis que cela exige que l'on ait x^^ys =1 x\, y\^ ... ; en d'autres termes, que les ^'^ et j^'^, sont déterminés.

En effet, coupons la courbe /"=: o par une courbe S d'ordre m — 2 ; faisons passer celte courbe d'ordre m — 2 par m — 3H-/? + o points fixes de /*= o et par ses 0 points doubles : c'est déterminer autant de paramètres de S ; il n'en reste plus que

{m — i)im-\-i)

arbitraires, ou

(m — 2)(m-i-i) {m — \){rn. — i)^ ^

La courbe S coupe/* en m [m — 2) points; sur ces points, il en a été choisi m — 3 -f-/? + 28 : il en reste

/ X / ON {m — i)(m — 'î) 5. m{m — 1) — {m — Z) — + ô = /? -i- i

mobiles. Si on les appelle Xffy yk, on a

Qii'Tk^rk)

en vertu d'un théorème connu d'Abel. Quand on se donne le (/?+ i)^^™® point ^^^,,y^^i, tous les autres sont déterminés sans ambiguïté. Ceci revient à dire que, si l'on intègre les équations précédentes, ce qui donne

^t^K^A-, JKaO= (^K^P+i, 7^4-1 ) + const., es Xk et lesy/t seront bien déterminés quand on se donnera

les ^^Vi{xk^ y h)' Ainsi on peut former une fonction B avec

des zéros donnés à l'avance.

Il résulte de là que, si l'on fait ^ r= ^, , y = j^< , on a

ou