K^A-,rA)-Rn

On peut déterminer les constantes R/ comme il suit :

Coupons la courbe f ^ opar une courbe du degré m — 3 passant par les S points doubles de f et par p — i autres points ^< , y, ; ^25 JK2 ; • • • ; ^p-\i Xp-if ^^ f'Out p — i + 2 S points dHnter section^ elle coupera f ^^ o encore en

Tn{m — 3) — jo H- 1 — iù =z p — I autres points x\ , y\ '■> ^'2^ y'2'1 • • • • Le théorème d'Abel donne

^dvi{ xk, y h ) -h^ d vi ( x'k, y'k) = o ou

^Vi{xk,yk)-^^vi{x'k, y'k) = K,-, Ki désignant une constante ; on en tire

A ...2t;,(^,,7A)-R/ ... Ue ...^{x'„y',)-Ki+Ri ...

Or le premier membre est nul d'après ce qu'on vient de voir (i); donc le second l'est aussi, donc K, — R^- doit être égal à Ri ou K/= 2Rf.

La constante K/ est plus facile à déterminer que R/; on

pourra donc à l'occasion substituer le calcul de Kf à celui de R,.

Nous donnerons une dernière propriété de la fonction Q qui doit nous conduire à la solution du problème de l'inversion, but final que nous nous proposons.

Soient ?a, '/)a les intersections d'une courbe cp = o du degré n avec f =^o\ ç^, r,^ les intersections dhine autre courbe ^ ^=o du même degré n avec f^^ o. Le produit

h=:mn^

s'exprime rationnellement en Xk et yn-

En effet, considérons d'abord Ç comme fonction de ^r,, en laissant ^2? -^3» •••> ^p constants; quand les fonctions Vi{x^^y^) augmentent de multiples des périodes, la fonction Ç se trouve multipliée par une puissance du nombre e dont l'exposant est de la forme

h=inn

(3) ^ ^^i[viCc!ii,ri',,)-Vi{\h,T,,,)].

Or, si l'on coupe la courbe /= o par la courbe cp + )v^ = o, en vertu du théorème d'Abel, les points d'intersection satisferont aux équations différentielles

si l'on fait varier 1 de o à go en intégrant, on a précisément l'expression (3) est nulle et la fonction Ç conserve la même

valeur en un même point de la surface de Riemann qui représente y; donc elle s'exprime rationnellement en x^ etjKi' C)n verrait de même qu'elle est rationnelle en ÛO2 et j^o, ^3 et

Cherchons les zéros et les infinis de Ç : à cet effet, cherchons les zéros de

. . .,^Vi(Xk, Jk)— i'iibi: '^à)—^h ■ \,

ou, en observant que, en appelant x'^^ y'.,, . . ., x'^, y'p les points où une courbe de degré m — 3, passant par les points doubles de /'et les points X2-, y-i, • . ., Xp^ yp^ rencontre encore y =0, on a

2 Viiopk, 7>t) = 2 Vi{x%, yk) = 'i. R/,

la fonction (4) devient alors

Elle admet les zéros ^ky 'f\h et x\, y\ : le quotient

admet donc le seul zéro ^^, 't\\ et le seul infini ^^, 7^^; donc Ç, considéré comme fonction de X\ et^i, admet les zéros ^', , r/, , . . . , 5^,,, 'f\„^,j^ et les infinis ?i , '/i , , . , . , ?,„,,, 'r\„„i ; la fonction T. ^' ' \ admet les mêmes zéros et les mêmes infinis. Le

qu'il ne s'annule plus et ne devient plus infini : le rapport

rapport Ç T, — ^ est donc indépendant de x^ et j/-, , puis-

? T/ — ^ est indépendant de X2 et Vo» . . . ; on peut donc poser

A étant indépendant des œ^ et des y^; on déterminera A en faisant œ = ûOq et en annulant les Vi(œ/(, y^), ce qui donne

k — mil

11 e[..., ViCçh, r,^)4-R/, ...] L?(^o,7o)J