XXXII. — Problème de l'inversion

Le problème de l'inversion formulé par Jacobi consiste dans l'intégration des formules

^^P-Z Mec,, y,)

sous une forme donnant les x en fonction des u. Si l'on veut, le problème de Jacobi consiste à résoudre les équations

=^^i{^k,yk), (0 { "2 =^^2{^/c, yk),

'^p^^^pi^k,yk\ dont le déterminant est

Pour résoudre ce problème, nous partirons de la formule (2) du paragraphe précédent, que nous écrirons

h^tnn

vi {xk, yk) — Vi ( ^A- , -îr) a) — R/j

Vi {Xk, yk) — Vi ibi^r^h)— R/, . .

En vertu des formules (i), ces formules (2) se simplifient et donnent

k — p h = mn

llj;(;r^, r/,) 11

0[..., Ui—Vi{^h,ri,,)—'Ri, ...]

Elles font connaître des fonctions symétriques des Xk et des Yk en fonction explicite des u] elles résolvent donc le problème de l'inversion.

On dit quejK/t est une fonction abélienne des w^ ; plus généralement, toute fonction symétrique rationnelle des Xk et des yii sera une fonction abélienne des quantités u.

Bien que le problème de l'inversion soit théoriquement résolu, nous entrerons encore dans quelques détails à son

sujet. Au lieu de la fonction -r-, nous considérerons la fonc-

tion — V— ^^ ï + '" i' ^" ^ désigne un paramètre variable; nous formerons le produit

-?) =.XpMo-i-X/'-iMi +

et, en donnant à \ des valeurs particulières, on pourra cal-

43o CHAPITRE XI.

culer les fonctions abéliennes Mo, M< , .... M^; on pourra

en particulier prendre y = — - — d'abord, et -r = , -> ael

b désignant des constantes; pour associer les valeurs correspondantes de X et de jKj on procédera comme il suit :

Imaginons que i'on ait formé l'équation admettant pour racines les y:) valeurs de

— a\y—bl

Quand on aura calculé les , •> les s'en déduiront.

^ y — b cù — a

De là résulte que x ^l y sont des fonctions des u qui ont p valeurs se permutant les unes dans les autres.

Signalons, en terminant, un cas singulier dans lequel les fonctions abéliennes sont indéterminées ; c'est celui où le

déterminant^ rt Q, (^1, y4)Q2(^2, :>^2). .. Q/?(^;>, 7>) est nul identiquement.

XXXIII. — Expression d'une intégrale abélienne de troisième espèce au moyen des fonctions 6.

Considérons la fonction Ç définie par l'équation

C = log-

—^^i{^k^yk)^^h •

. • -5 ^/— ^^/(^A-,7a)+ Rn

La fonction ^ ne change pas quand les Vi augmentent de multiples des périodes ; ~ est donc une fonction monodrome sur

la surface deBiemann; c'est une fonction rationnelle de x et de y : Ç est donc une intégrale abélienne. Les infinis de Ç sont donc x'j^ et les Xi^\ si donc on suppose que

et

la fonction

Ç ^ log 1 ^

e ...,Vi — i>i{^',-n')—y^Vi(x,„y/,)-^Ri, ...

sera une intégrale de troisième espèce aux infinis Ç et Ç'. Si

l'on désire que la limite inférieure de l'intégrale soit ûOq^ on

devra faire

^ e I . . ., Vi-vi(l rj)— ^pK^a-. yk) + Ro . . . I

^= log 1

e I . . . , v,--Vi{l', r^')—^Vi{xA; Jk) + R/, . . . 1

- log '-

e I". . . , (^/(r, r^-^i^ii^k, yk) + R/, . . .]