XXXIV. — Théorème de M. Picard

Si r équation algébrique

est satisfaite identiquement en posant

o et ^ désignant des fonctions monodromes et monogènes dans toute V étendue du plan, cette équation est nécessairement de genre zéro ou un.

Pour démontrer ce théorème, on peut évidemment se borner à considérer le cas où la courbe représentée par l'équa-

lion (i) n'a pas d'asjmptotes parallèles aux axes; en d'autres termes, si l'on appelle m son degré, on peut supposer que l'équation (i) renferme un terme en x^ et enjK'". Soit alors

une intégrale abélienne de première espèce, Q désignant un polynôme de degré m — 2. La fonction

dy Q(37,7) dx dt ~ Moc.y) dt

sera, commet etjK, unefonction monodrome et monogène de ^. Je dis que cette fonction n'a pas de pôles.

En effet, elle ne peut devenir infinie que si -7- devient

infini, ou que si ^ devient infini, ce qui ne peut avoir lieu

qu'en un point critique dejK où l'on a à la fois /= o et/i = o. Examinons ces deux cas.

1° Si au point ^= a on a -^ = ce, on a nécessairement

^ = 00, car la dérivée d'une fonction synectique est ellemême synectique; or, pour de très grandes valeurs de x^ on a, en série convergente,

A, B, C, . . . désignant des constantes, dont la première est différente de zéro, le terme en x"^~^ existant certainement dans y*2. D'ailleurs, x étant infini pour t=ct., on peut poser

( ^ — a )« (t — oc )«+!

on a alors

^ =zz (^ — a)'««-«T!j(^ — a), Tn{t — a) désignant une fonction monodrome et monogène

pour t ^=: a.', donc

Q dx dV , , . ,

TU, désignant une nouvelle fonction synectique autour du point a. Or m doit être supposé plus grand que 3, puisque, pour m--= 3^ la courbe (i) est de genre un. Alors

mn — 2/1 — i> I,

j dY ^ n ' ^ dx

donc — r- est tini quand -.- = oo.

dt ^ dt

2° Examinons maintenant le cas où le point x est un point critique de la fonction y\ appelons encore a la valeur de t pour laquelle x est un point critique a, soit b la valeur correspondante de y. On a, dans le voisinage du point x ^= a,

-'' {x~ayi

p et q désignant des nombres entiers tels que

et TO désignant une fonction finie dans le voisinage du point x = a; d'ailleurs on doit avoir p<^q, puisque l'intégrale abélienne V est toujours finie. Mais, x — a s'annulant pour t =z CL, X — a est de la forme (C — a)^, n désignant un entier : cet entier est au moins égal k q, y devant reprendre sa valeur quand x a tourné q fois autour du point a, et seulement quand x a tourné q fois autour de <2-, mais, t tournant une fois autour de a, x tourne n fois autour de a, et y a repris sa valeur : donc n est multiple de q et est au moins égal à q. On peut donc poser

X — a ={t — tx)>^iw{t),

1 désignant un entier positif elrn une fonction fîniepour t = (/.. Alors

CT, {t) n'étant ni nul ni infini pour ^ = a : donc —r- n'est pas infini pour ^ = a. c. q. f. d.

Il résulte de là que la fonction -j-, ne devenant jamais

infinie pour des valeurs finies de t, est synectique dans toute l'étendue du plan, excepté pour ^ = 00, et alors la fonction V, considérée comme fonction de t^ est également synectique dans toute l'étendue du plan, sauf pour t = ao.

Mais l'intégrale abélienne V, quand la courbe (i) est de genre supérieur à un, peut être choisie de telle sorte qu'elle possède au moins 3 périodes, et x est une fonction triplement périodique de V : alors, en ajoutant à V des multiples des périodes, on peut obtenir des valeurs de V infiniment peu différentes pour une même valeur de x; k ces valeurs de V correspondront des valeurs de t infiniment peu différentes; t variant infiniment peu, x ne varierait donc pas, ce qui est inadmissible. Le genre de (i) ne peut donc être que un ou zéro.

XXXV. — Des fonctions de n variables possédant 2n systèmes de périodes simultanées.

Lorsque l'on a

on dit que la fonction /possède les périodes simultanées w<, (1)2, . . ., M,i. La fonction 0 satisfait aux équations

(1) 0(a7iH- 2 Al 71 \/ 1, 372 -h 2 A-2 TT / — I, . . .) — & (Xi, 0^2, •••)>

(2) e(iPi-|- 2T;iïl, 372+ 21^2, . ..) = e-[^^'"^'+^], OÙ

= ^aijvr^j, iw,=

drn

et où ki et v/ sont des entiers quelconques. En vertu de (i),

0 admet les périodes simultanées

et oLij [3/, y/, ùi désignant des constantes, il en sera de même de la fonction

e(a^lH-g|, 372-+- «2, . . .)B(a?i-4- Yi, 372 -H Y2' "•) e(^l4- [3i, 372+ ?27 . . .)^(-^l-^ ^IJ ^2-^ §2, ...;

Si entre les constantes à, p, y, o, on établit les relations

a/ — ^i -i- Yi — 0/ = o,

la formule (2) montre que cette fonction admettra encore le système de périodes simultanées

Ceci montre qu'il existe des fonctions de n variables avec 2/i périodes simultanées et sans points essentiels dans le prismatoïde des périodes, en appelant ainsila surface limitée dans l'hyperespace par des plans séparés entre eux par un intervalle égal à une période, surface analogue au périmètre du parallélogramme des périodes dans le cas où il n'y a qu'une variable. Nous voilà conduits à étudier les propriétés de ces fonctions qui sont une généralisation toute naturelle des fonctions doublement périodiques.

Théorème. — Si Von considère un système de fonctions périodiques de n variables sans points essentiels, et possédant toutes le même prismatoïde de périodes, f^, /*2, . . . , fui les équations simultanées

fl = Si, y*2 = ■S2) • • • ) fn = Sn

ont toujours le même nombre de solutions dans le prismatoïde des périodes, quelles que soient les constantes désignées par 5,, ^2, . . . , Sa-

Considérons, en effet, les fonctions f^ — s^^ f^ — ^o, . . . , fn — s,i et appliquons le théorème de M. Kronecker (T. III, p. igo) à la recherche des solutions 'de

contenues dans l'espace compris entre la surface du prismaloïde des périodes et les surfaces limitant l'espace dans lequel l'une des fonctions /au moins est infinie; le nombre des solutions est donné par une intégrale de la forme

dans laquelle N est une puissance de la somme des carrés des modules de/ — s^^ f^ — ^2, ... et dans laquelle dN ne contient pas^i, ^o, .... Cette intégrale doit être prise le long des surfaces considérées. Elle est égale à un nombre entier; elle est d'ailleurs continue par rapport k s^, s<>^ .... Sa valeur est donc indépendante de 5i, ^2, . • . , ce qui démontre notre théorème.