XXXVI. — Théorèmes de M. Weierstrass

Théorème I. — Soient u^, U2^ - - - , u,j, u,i+i, n -{- i fonctions de Xij ^25 • • •? ^n sans points essentiels à distance finie et possédant les in mêmes systèmes de périodes simultanées ; elles sont liées entre elles par une relation algébrique.

En effet, si l'on donne à u^y u^-, ... des valeurs déterminées, il en résultera un certain nombre k fixe de valeurs correspondantes de x^^ x^^ . . ., x,i et, par suite, k valeurs de Unj^\ ; les fonctions symétriques rationnelles de ces k valeurs n'auront pas de points essentiels en u^ , u^, . . . ,Un

ÉTUDE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. l[^y

et, par suite, seront rationnelles en z/,, U2y •••5 li/n il en résulte que Un+\ est racine d'une équation de degré k dont les coefficients sont rationnels en Ui^ 1121 . . . , Un'

Considérons deux fonctions U et V, telles que Un+\'-, U et V sont racines de deux équations de degrés k à coefficients rationnels en z^,, 112, . . . , Un] quand on se donne Ui, Uoy . . • , Ufi, il en résulte k systèmes de valeurs des x; à chacun de ces systèmes correspond une valeur de U et l'on peut choisir de telle sorte qu'il lui corresponde une valeur de V, de sorte que, quand Ui, Uo, •- •? Un et U sont donnés, V est déterminé ; V est donc rationnellement exprimable au moyen de Ui^ U2, . ' ., Un et U.

Théorème II. — Soient f et F deux fonctions ayant in systèmes de périodes communes et sans points essentiels à distance finie, F pourra s^ exprimer rationnellement au

, r àf df df

moyen de f, -r—, -r — > • • • ? -^- •

Car/ et ses dérivées ont les mêmes systèmes de périodes que F.

Corollaire. — f{^\ 1 ^t-, • • • ^ ^n) étant une fonctiou ayant 2 ^périodes simultanées et pas de points essentiels à distance finie, il est clair que /(^i +JKi, ^2+JK2, • • •) s'exprimera alors rationnellement au moyen de

/(a7i, 072, ..., 07,,), /(7l, JK2, ...,7«)

et de leurs dérivées

df df ' df df df

da?! dx^ dxn dyi dy^