XXXVII. — Théorème de MM. Picard et Poincaré

Le théorème que nous allons démontrer a été énoncé autrefois par Riemann, qui l'a communiqué sans démonstration à M. Hermite : il était naturel de le soupçonner, mais sa

démonstration était assez difficile; elle a seulement été donnée dans CCS derniers temps par MM. Picard et Poincaré {Comptes rendus Y^our i884).

Il est facile de voir qu'une fonction de n variables .r,, X2') . . . ^ ^/i, bien déterminée et sans points essentiels, ne peut avoir plus de 2n systèmes de périodes simultanées; la démonstration de ce fait est facile à établir à l'aide des théorèmes énoncés (p. 2i7etsuiv.).

Mais les périodes d'une fonction qui a 2n systèmes de périodes simultanées ne sont pas arbitraires, et le théorème" de MM. Picard et Poincaré met en évidence la manière dont ces périodes dépendent les unes des autres.

Soient

^21, CO227 ••■> W2«, ..., W2,2«j

\ W/ji, œ,j2j ..., W/j,^, ..., 10,2, 2/i

un système de n périodes de la fonction f{x^^ jCo, . . . , Xu) si la substitution linéaire

Xi — wnXi-1- ^12X2-1-. . .-f- Wi„X„,

^n= 0),jiXi+ W,j2X2H-. . .4- Oinn^n,

transforme /(^i, Xo^ . . . , x,i) en F(Xi, X2, . . . , X,;), la fonction F(Xi , Xo, . . . , X,;) aura pour périodes

TJTii,

T»Ti2,