XI. — Somme des ordres de contact de deux cycles

Soient j^ et y' les ordonnées de deux cycles de même origine, nous aurons besoin de savoir évaluer la somme des ordres de contact des diverses branches de ces cycles^ la méthode consistera tout simplement à évaluer l'ordre par rapport à .r de la diff'érencejK — y' pour toutes les branches des deux cycles et à faire la somme des ordres ainsi obtenus: cela ne présente aucune difficulté quand on connaît les développements dey et ^^ y' •

Théorème I. — La somme des ordres de contact des branches de deux cycles est toujours un nombre entier.

En effet, soient

les équations des deux cycles que j'appellerai G et G'.

Gherchons d'abord la somme des ordres de contact de toutes les branches du cycle G avec l'une des branches du cycle G^; appelons jKi, JK2, ••• les diverses valeurs de l'ordonnée j^ pour une même valeur de x Gty\jy'^^ ... les diverses valeurs, correspondant à la même valeur de x, de l'ordonnée y^; ce

THÉORIE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES. ^l

qu'il faut d'abord évaluer, c'est la somme des ordres des différences y^ — y\, y^ — j''^, y^ — y\, ..., c'est l'ordre de leur produit {y^— y\){yi-- y\){yi—y\) •••; mais le produit (jKi — y){yi — y){y^ — y) ••• ^st une fonction monodrome et monog^ène de x et de y autour de l'origine du cycle; on peut la représenter par 'hi^x^y), en sorte que ce qu'il s'agit d'évaluer, c'est l'ordre infinitésimal de ^(^, y\) quand on remplace jk'^ par son développement. La somme des ordres que nous cherchons est l'ordre àe, ^ (x ^ y\) ^ (x , y\^ ... ; cette fonction est monodrome autour de l'origine des cycles : or l'ordre d'une fonction monodrome de ^est nécessairement entier par rapport à ^ ; donc, etc. c. q. f. d.

Théorème II. — Quand deux courbes passent en un pointM, elles se coupent en un certain nombre^ de points confondus ; si Von désigne par p le nombre de branches de la première courbe passant en M, par q le nombre de branches de la seconde courbe passant en M et par s la somme des ordres de contact de toutes les branches de la première courbe avec celle de la seconde, on aura

^ = pq -f-.ç.

Supposons, en effet, que l'on ait pris le point M pour origine des coordonnées ; soient alors

les équations des deux courbes; résolvons ces équations, et soient y^, y2, ... les racines de la première, y\^ y'^^ . . . celles de la seconde : la résultante des deux équations sera n(jKf — JK}) = o; l'ordre de produit n(jK/ — y'j) pour de petites valeurs de x sera le nombre des intersections des deux courbes confondues à l'origine; cet ordre sera aussi l'ordre du produit des binômes yi — y'j qui contiennent seulement les ordonnées des cycles relatifs à l'origine; or ce produit est précisément ipq -\- 5, somme des ordres de contact des cycles des deux courbes, qui sont relatifs à l'origine, diminuée de pq : ce qui démontre le théorème énoncé.