XII. — Classification des points singuliers

D'après ce que l'on vient de voir, on peut partager les points singuliers en deux catégories, les points singuliers à tangentes séparées et les points singuliers présentant des tangentes confondues.

Les points singuliers d^ ordre k à tangentes séparées peuvent être considérés comme résultant de la réunion

de — ^-; points de la courbe.

Les points singuliers d'ordre p à tangentes confondues peuvent être considérés comme résultant de la réunion de

points de la courbe, plus d'' autant de points qu il

y a dUinités dans la somme s des ordres des contacts des diverses branches, somme qui est un nombre entier. On dira qu'en un tel point la courbe se coupe elle-même

\kik-^) K.

En effet, il est naturel, par analogie avec ce qui a lieu pour l'intersection de deux courbes distinctes, de dire que le nombre des points d'intersection d'une courbe avec ellemême dans le voisinage d'un point singulier est l'ordre du produit des différences yi — yj des ordonnées de deux branches dans le voisinage du point singulier, ou, ce qui revient au même, l'ordre du produit de toutes les différences n(yf — yj) des racines de l'équation qui représente la courbe ; or l'ordre de ce produit est aussi la somme s des ordres des contacts des diverses branches qui se croisent au point singulier augmenté du nombre de combinaisons de ces

branches prises deux à deux, c'est-à-dire -— -^ h s.

Il est à remarquer qu'il arrivera souvent que ce nombre sera fractionnaire, mais son double sera entier.

Remarque. — On voit, et ceci est important pour ce qui suivra, que V ordre du premier membre de V équation aux carrés des différences des racines y de l'équation d'une courbe en un point singulier est le double du nombre de points d'intersection de la courbe avec elle-même en ce point, le nombre d'intersections étant fictivement estimé comme il vient d'être dit.