I. — Diverses méthodes de transformation

Soient X et y les coordonnées d'un point, si l'on pose deux relations telles que

ou même, plus généralement,

aux points x^ y correspondront un ou plusieurs points x\y\ et si le point (.5;, y) décrit une figure, le point correspondant {x' ^y') en décrira une autre. On dit que ces deux figures sont transformées l'une de l'autre.

Rien n'empêche de supposer que x\ y' soient des coordonnées tangentielles : alors à un point de l'une des figures correspondra une droite dans l'autre, et les deux figures seront encore des transformées l'une de l'autre.

Nous commencerons par étudier les méthodes de transformation les plus simples, qui sont aussi les plus anciennes; ce sont évidemment celles dans lesquelles les équations (i) sont du premier degré, que x' , y' représentent des coordonnées ordinaires ou des coordonnées tangentielles. Ce sont l'homographie et la corrélation, dont on doit l'idée première à Ghasles et à Poncelet.

Notre but, en écrivant cet Ouvrage, est surtout de faire connaître les propriétés analytiques des fonctions, ainsi que

nous l'avons dit dans notre Préface; ce n'est que d'une façon accessoire que nous y présentons des applications et des développements géométriques. Il ne faudra donc pas considérer les théories que nous allons exposer comme un Traité des propriétés projectives des figures : c'est à peine si l'on peut envisager les quelques pages qui vont suivre comme une introduction à l'étude de ces propriétés. Nous nous bornerons à faire connaître les parties qui sont nécessaires à l'étude des fonctions algébriques. jNous renverrons le lecteur curieux d'approfondir l'étude des transformations des ligures à la Géométrie supérieure de Chasles, à son Traité des Sections coniques, à son Aperçu historique, à ses Mémoires, au Traité des Propriétés projectiles de Poncelet, aux Ouvrages de Plûcker, de Gremona, de de Jonquières, etc. Un résumé, même succinct, des travaux de ces géomètres doublerait l'étendue de l'Ouvrage que nous écrivons.

IL — Définition des figures homographiques.

Soient Xj y les coordonnées d'un point appartenant à une première figure, x' , y' les coordonnées d'un point appartenant à une seconde ligure : si l'on a

, , ax' -\-by' ^ c a' x' -+- b' y' ■+- c'

a, b, c, a', 6', c', d' ^ b" ^ c" désignant des constantes, on dira que les deux figures sont homographiques, ou transformées l'une de l'autre homographiquement. Pour justifier cette définition, il faut montrer que x' et y' sont des fonctions de X et y rationnelles dont les numérateurs et les dénominateurs sont du premier degré; à cet effet, rendons les équations (i) homogènes et écrivons-les ainsi

a x' -Y- by -\- cz' a' x' -\~ b' y' -{- c' z' a x' H- b" y ■

46 CHAPITRE m.

En désignant alors par - la valeur commune de ces rapports,

on a

a x' -\- h jk'h- c z' =■ tx,

a' x' -\- b' y -^- c' z' = ty, a" x' H- b" y -\- c" z' = t z;

on en conclut pour x'fy'., z' des valeurs fonctions linéaires de tx, ty^ tz et homogènes : ^,7 "^ ou x' ely' seront donc de la forme indiquée en - et -^ ou en ^ et jk-

Théorème I. — Si, x, y, z désignant les coordonnées trilinéaires d'un point M; x', y', z' celles d'un autre point M', et si, a, b, c, ... désignant des constantes, on

pose

ax' -\- by -^ cz' a' x' -+- b' y '^- c' z' a x' -^ b" y' -\- c" z'

les points M et W appartiendront à deux figures homographiques.

En effet, entre les coordonnées rectilignes ordinaires de M et de M' il existera deux relations permettant d'exprimer les coordonnées de M en fonction des coordonnées de M', sous la forme de fractions ayant même dénominateur du premier degré et des numérateurs du premier degré aussi.

Je rappelle que le rapport anharmonique de quatre points a<, a^i «3, «4 en ligne droite est le rapport

et que le rapport anharmonique de quatre droites concourantes, oa^, oao, 0^3, oa^ est le rapport

^ma^oa^ ^ sin«4oai sina2 0«3 * smai^oa^

qui d'ailleurs est égal au rapport anharmonique des quatre

points <2,, <7o, «3, «i d'intersection des droites en question avec une transversale quelconque.

Si l'on désigne par P et Q^ deux fonctions linéaires distinctes des coordonnées courantes (rectilignes ordinaires, homogènes ou trilinéaires)^ les droites concourantes représentées par les équations

(i) P — XiQ=o, P — XoQ^o, P — XaQ^o, P^X4Q = o

auront pour rapport anharmonique

k.-\, . X, - Xi X.-X3 • X.-X^'

En effet, prenons les droites P =: o, Q = o pour axes des coordonnées, les équations (i) prendront la forme

k désignant un rapport indépendant de x et y et de )h, )^2? I3, A4. Coupons les droites que représentent ces équations par la droite x = const. = a, les ordonnées des points d'intersection kX^a, k'ko^: k'k^a, kX'^a seront quatre segments dont les extrémités seront quatre points en ligne droite, ayant pour rapport anharmonique le rapport cherché; ce rapport

est

ka\<i — ka\\ kaXi^ — kaXx

rest-à-dire

kaXi — ka\^ ' kali, — kaX^ X2 — Xi ^ X4— Xi

comme nous l'avions annoncé.

Lorsque le rapport anharmonique de quatre points est égal à — I, ces points forment une division harmonique j lorsque le rapport anharmonique de quatre droites est égal à — I , ces droites forment \\n faisceau harmonique ; d'après cela, les droites représentées par les équations

forment un faisceau harmonique.

48 CHAPITRE m.

Car elles donnent lieu à des segments o, co, Aa, — ka qui, écrits dans l'ordre — ka, oc, ka^ o, donnent pour rapport anharmonique — i .