III. — Propriétés fondamentales des figures homographiques

Théorème I. — Deux figures homographiques sont deux figurées de même degré.

Cela résulte de ce que, si l'on considère l'équation homogène d'une ligne, pour obtenir la figure homographique, il faut remplacer les coordonnées courantes par des fonctions linéaires de ces mêmes coordonnées.

Corollaire. — Donc la figure homographique d'une droite est une droite.

Cette conclusion, toutefois, ne sera entièrement exacte que si l'on considère les points à l'infini, z = o, comme formant une ligne droite, la droite de Vinfini. A cette droite de l'infini pourra correspondre, ou la droite de l'infini dans la figure homographique, ou une droite située à distance finie d' x' + ¥ y' -h c"^'= o.

Théorème II. — A quatre points en ligne droite, ou à quatre droites concourantes, correspondent dans la figure homo graphique quatre points en ligne droite ou quatre droites concourantes ayant le même rapport anharmonique.

Il suffit évidemment de prouver que deux faisceaux de quatre droites homographiques ont même rapport anharmonique, car une division formée par quatre points sur une droite a même rapport anharmonique qu'un faisceau de quatre droites passant par ces points.

Or tout faisceau de quatre droites peut être représenté par des équations de la forme

(i)P — XiQ = o, P — X2Q=o, P — X3Q=:o, P — X^Q=o,

l* el Q désignant des fonctions linéaires des coordonnées courantes x, y. La figure homographique sera représentée par les équations

où P', Q' désignent des fonctions linéaires des coordonnées courantes x' ely'; or le faisceau (i) et le faisceau (2), d'après ce que l'on a vu au paragraphe précédent, ont même rapport

an harmonique -^ — r-î : -^ — .— ; donc, etc. c.q.f.d.

Pour effectuer la transformation homographique donnée

par les formules du paragraphe précédent,

ax' -T- by' -7- cz' a' x' -\- b' y' -r- c' z' ci' x' -- b" y' -i- c" z'

sur une figure donnée par son équation, on peut rendre cette équation homogène, la présenter sous la forme

où /désigne une fonction homogène, et faire la substitution linéaire

/ X r- ax' -^ by' -:- cz',

La théorie de l'homographie est, à ce point de vue, l'interprétation géométrique de la théorie des substitutions linéaires. Quand on suppose les formules (3) résolues par rapport à x-',y\ z'y on peut les mettre sous la forme

/ x' -- %x ~i-3jK -^Y-^

( z' =: a"x--^"y-^,~Y'^- (Considérons une courbe représentée par l'équation Iiomo-

5o CHAPITRE III.

sa transformée aura pour équation

f{ax'-- hy -- cz\ rt'ip'-T-. . .) = o ; l'expression

xf-HYf.-Z^ àx dy dz

est un covariant et même un covariant absolu. Il en est de même de ses puissances symboliques; de là découlent les conditions suivantes :

Théorème III. — La iangenle à une courbe G a pour transformée homo graphique la tangente à la transformée de la courbe G.

Et ce théorème ne souffrira pas d'exception, si l'on convient de considérer les asymptotes des courbes comme des tangentes à l'infini.

Théorème IV. — Les polaires des différents ordres d^ une courbe G ont pour transformées homo graphiques les polaires de même ordre de la transformée de G.

Théorème V. — La liessienne d' une courbe G a pour transformée homographique la hessienne de la transformée de G.

Gar le hessien d'une fonction est un covariant.

Théorème VI. — Quand une courbe C présente un point singulier M, sa transformée homographique a aussi pour point singulier le point M! qui correspond à M; les deux points M et M! ont des singularités analogues.

En effet, si la courbe G présente en M, dont les coordonnées sont ^, jK} ^, un point multiple d'ordre />, les émanants

. , /? — I ; les éma-

Oy

sont identiquement nuls pour

nants

àf ,

dy' '

correspondants seront donc aussi identiquement nuls; la transformée G' de G aura donc en M' un point multiple d'ordre/?. Les tangentes en M et M' aux nœuds auront respectivement pour équations

si donc le nœud M présente deux tangentes confondues, le premier membre de (6) contiendra un facteur carré, il devra en être de même de (7) et, par suite, le nœud M' présentera aussi deux tangentes confondues, etc.

Théorème VII. — U ordre du contact de deux courbes n'est pas altéré par une transformation ho mo graphique.

En effet, deux courbes ont un contact d'ordre n, quand leurs dérivées, jusqu'à l'ordre n, sont proportionnelles, c'està-dire quand leurs émanants jusqu'au /i"^°^® inclusivement sont proportionnels quels que soient X, Y, Z, et alors leurs transformées ont aussi leurs émanants proportionnels j usqu'au /i'*""" inclusivement, et par suite ont un contact d'ordre n.

IV. — Sur une méthode particulière pour effectuer les transformations homographiques.

Soient x^ y, z les coordonnées trilinéaires d'un point rapporté à un triangle de référence T, dont le côté s = o peut être, si l'on veut, la droite de l'infini; soient x' , y', z' les coordonnées trilinéaires d'un autre point rapporté à un autre triangle de référence T'.

Si le point x, y, z décrit une certaine figure F, le point x\ y\ z' ayant des coordonnées proportionnelles à X, y, z décrira une figure F' homo graphique de F et^ réciproquement, deux figures étant homo graphiques ^ on peut toujours supposer les figures rapportées à des triangles de

,)2 CHAPITRE ni.

référence, tels que les coo/'données d'un point de l'une soient proportionnelles aux coordonnées du point correspondant de Vautre.

En effet, rapportons les deux triangles T et T' à un même système d'axes rectangulaires, Oç, Or,; on aura

rt, ^, . . ., a, [^, . . . désignant des constantes déterminées. Si Ton pose alors

on aura entre les coordonnées \, r, et ^', r/ des points correspondants les relations

si le déterminant SzhajS'y" n'est pas nul, c'est-à-dire si le triangle T' est un véritable triangle à surface finie ^', y/ et l'unité seront des fonctions du premier degré de ; et r, multipliées par p et, par suite, ^ et r/ seront de la forme

/o^ f' - -A^ -i-B^^jC^ , AJ-BV^- G'

A, B, . . . désignant des constantes, el vice versa. Réciproquement, si l'on pose

^'= a^'- p.r/- Y, /== a'^'- :i'r/- /, ces formules (2) donneront

•^ " Â''l-^B"ri-t-G"' " ~ F"n^B"ri--G"'

M, N, . . . désignant des constantes, d'où Ton déduira

•^ ^ JK ^ i

.r, j-, z étant des fonctions linéaires de q et 'f] et, par suite, des coordonnées trilinéaires relatives à un nouveau triangle de référence.

Cette proposition est importante : elle rend évidents les ihéorèmes énoncés au paragraphe précédent, elle permet en outre d'établir les théorèmes suivants :

Théorème I. — La figure ho mo graphique dUin cycle est un cycle de même ordre et de même classe.

TnÉoiiÈME II. — Deux cycles homo graphiques sont tels que deux branches ont entre elles le même ordre de contact que leurs correspondantes.

En effet, étant donnée l'équation de l'un des cycles, cette équation sera aussi l'équation du cycle homographique : les coordonnées seront seulement rapportées à un autre triangle de référence-, l'ordre et la classe d'un cycle ne dépendant que de la forme de l'équation de ce cycle, le premier théorème est démontré. L'ordre du contact de deux courbes ne dépend que de l'ordre infinitésimal de la différence de deux coordonnées de même nom, les autres coordonnées étant les mêmes; par suite, l'ordre du contact de deux branches de courbes ne saurait être altéré par une transformation homographique, cet ordre fût-il fractionnaire ou incommensurable. Celte démonstration ne fait pas double emploi avec celle du théorème VII du paragraphe précédent, qui supposait essentiellement l'ordre du contact entier.