V. - Utilité de l'homographie

Le but de l'homographie est de généraliser les propriétés lies figures. Etant donnée une propriété d'une figure, en la

i)4 CHAPITRE III.

transformant homographiquement, on en déduit une propriété de la figure transformée.

En se plaçant à ce point de vue, une propriété d'une figure est exprimée analytiquement par une relation entre les coordonnées des divers points de cette figure; cette relation, transformée à l'aide des formules de l'homographie, fournit alors une autre relation qui est ordinairement une propriété plus générale d'une autre figure : je dis « plus générale » puisque la nouvelle relation contient tous les paramètres arbitraires qui entrent dans les formules de transformation. Si la transformation que l'on a fait subir à la figure est telle que les paramètres de la transformation soient tout à fait arbitraires, une nouvelle transformation homographique appliquée à la transformée ne fournira pas de résultat nouveau.

Il peut arriver qu'une propriété d'une figure soit exprimée par une équation qui ne contient que des covariants ; la figure transformée jouit alors exactement de la même propriété que la figure primitive, et cette propriété, que l'on ne saurait généraliser par l'homographie, est alors ce que Ton appelle une ^YO^Yiéiéprojective. Les propriétés projectives sont donc les plus importantes, puisque les autres en sont pour ainsi dire des cas particuliers.

Pour ne faire qu'une application de l'homographie, considérons deux droites parallèles A, A'; coupons-les par une série de droites parallèles entre elles, B, B', B'^, . . ., nous formerons une série de parallélogrammes dont les centres seronl sur une droite parallèle à A, A^ Si nous transformons la figure ainsi formée, les droites A, A^ qui concouraient sur la droite de l'infini auront pour transformées deux droites concourantes ao et a' o, les droites B, B^, B", . . . deviendront des droites issues d'un point fixe w, les parallélogrammes considérés tout à l'heure deviendront des quadrilatères quelconques; mais les points de concours de leurs diagonales seront encore en ligne droite et cette droite d passera en o; la droite D équidistante de A et A' formait avec ces droites et

la droite de rinfîni un faisceau harmonique ; donc les droites Odj Ort, Oa', Ow forment aussi un faisceau harmonique (p. 48, théorème II). C'est le théorème connu sur la polaire de deux droites, théorème qui ne peut plus être généralisé par l'homographie et qui est projectif.

Les propriétés non projectives sont appelées propriétés métriques.

Les formules de la transformation homographique

ax' -r- by -7- cz' o! X '\- b' y' -^- c' z a" x' -\- b" y' -v c" z

renferment huit paramètres a ', b \ c '. ... '. c" , que l'on peut déterminer en se donnant arbitrairement quatre valeurs des rapports x '.y '. z elles quatre valeurs des rapports correspondants x' ', y' '. z' . Ainsi :

Quand on veut transformer une figure homographiquement, on peut choisir quatre points et leur faire correspondre honio graphiquement quatre autres points à volonté.

Quatre points et leurs correspondants détermineront une transformation et une seule; il faudra pourtant que certains déterminants ne soient pas nuls : par exemple, à des points en ligne droite on ne pourra pas faire correspondre des points quelconques; à quatre droites quelconques on pourra aussi faire correspondre quatre droites données, et parmi ces droites pourra se trouver la droite de l'infini. Faire correspondre quatre droites à quatre droites, cela revient à faire correspondre quatre points de rencontre de ces droites aux points de rencontre des quatre correspondants, pourvu que l'on ne prenne pas parmi ces points trois d'entre eux en ligne droite.

On fait souvent correspondre aux deux ombilics du pian deux points réels ou imaginaires situés à distance finie. Les transformations que l'on obtient ainsi permettent de déduire les propriétés projectives d'une conique de celles du cercle.

qui peut se définir une conique passant par les ombilics du plan.

Deux coniques quelconques étant données, on peut toujours les regarder comme transformées homographiques de deux cercles; on les transforme en effet en deux cercles en faisant correspondre deux de leurs points d'intersection aux deux ombilics du plan.

En général, au mojen de l'homographie, on déduira les propriétés des coniques passant par deux points fixes des propriétés des cercles. Par exemple, de ce que :

Si d'un point fixe O on mène des tangentes aux cercles qui passent par les deux mêmes points, en ligne droite avec le point O, le lieu des points de contact sera un cercle.

On en conclut que :

Si d'un point fixe situé sur la corde commune à toutes les coniques qui passent par quatre points fixes on mène des tangeptes à ces coniques, le lieu des points de contact sera une conique ayant une corde commune avec les coniques considérées.

Ilestbond'observerquedeuxdroitesrectangulairesforment un faisceau harmonique avec les droites isotropes passant par leur point de concours; elles correspondront donc homographiquement à des droites formant un faisceau harmonique avec des droites passant par deux points fixes correspondant aux ombilics du plan.

VI. — Usage de l'homographie pour l'étude des points situés à l'infini.

Si nous considérons une équation entre les coordonnées homogènes d'un ou de plusieurs points, cette équation exprimera une propriété de la figure formée par ces points; si maintenant, dans la même équation, on suppose que les lettres x^y^ z^ . . ., au lieu de représenter des coordonnées homogènes, représentent des coordonnées trilinéaires, l'équa-

lion exprimera une propriété d'une figure homographique.

En effet, appelons ;, Tj les coordonnées ordinaires du point dont ^, /, z sont les coordonnées trilinéaires, oc^y, z seront des fonctions linéaires de Ç, r^ ; de sorte que, si l'on employait des coordonnées ordinaires, pour passer de la première figure à la seconde, il faudrait faire une substitution linéaire : la seconde figure et la première sont donc homograpliiques.

En se plaçant à ce point de vue, la droite de l'infini est remplacée par l'un des côtés ^ = o du triangle de référence, et les points situés à l'infini sont, en quelque sorte, rendus tangibles, projetés, comme l'on dit, sur la droite ^ = o; ces considérations viennent encore justifier la locution dont nous nous sommes servis, de droite de L'infini.

VIL figures homologiques.

Etant données deux ligures homographiques dans un même plan, il y a en général trois points qui sont à eux-mêmes leurs correspondants. En effet, si, dans les formules générales,

ax -- by -V- cz a' x -r- b' y -t- c z a" x -■- b" y -r- c" z

on suppose x^ =^ x^oxv a, pour déterminer les points qui sont leurs propres correspondants,

ax

by - cz a' X ~,- b' y -r- c' z a" x -r- b" y

si l'on égale cette suite de rapports à —, on a

/ {a — s)x . by v- cz — Q^ ([) ' a' X ■ - {b' - s)y c' z -- o^

L'élimination de x^ y^ z donne une équation en s du troisième degré, d'où l'on conclut qu'il existe trois systèmes de valeurs de x,y, z\ donc, en général, il existera trois points qui seront à eux-mêmes leurs propres correspondants; il est

clair que, dans certains cas particuliers, il pourra y en avoir une infinité.

Ces trois points ne seront pas en général en ligne droite ; mais supposons-les en ligne droite, la droite qui les contient se correspondra à elle-même. Soient a,, a^^ a^ ces trois points; si, sur la droite, on prend un quatrième point «4, il se correspondra à lui-même, puisque, en appelant a\ son correspondant, le rapport anharmonique des points <2i, «2? ^3? «/, sera le même que celui des points a^J «21 <^3j <^4- Ainsi, dans le cas où trois points doubles sont en ligne droite, il y aune infinité de points doubles; mais, appelant S le déter-

minant des équations (i), ses mineurs sont nuls et -r- est nul ;

l'équation S = o a une racine double ; si l'équation S := o n'a pas de racine triple, on voit que, indépendamment de la ligne des points doubles, il existera un point double, en général situé en dehors de cette ligne.

Plaçons-nous dans l'hypothèse où les points doubles forment un triangle; prenons ce triangle pour triangle de référence, les formules de transformation devront être satisfaites pour ;r = o,y = o, ^'= o, jk' = o • cela exige que c -- c' = o; on verrait de même que a'^=o, «":=o, 6 = 0, b"=^o. Ces formules de transformation se réduiront donc à

ax oyez

ce qui montre que la théorie des coordonnées trilinéaires doit donner les mêmes résultats que l'homographie, lorsque les coordonnées d'un point sont non pas les distances de ce point au triangle de référence, mais des quantités multiples de ces distances, le rapport restant indéterminé.

Mais, si l'on transporte la figure x,, jk, z d'une façon quelconque dans son plan, il faudra remplacer x^ y, z par des fonctions linéaires de ces variables dépendant de trois paramètres arbitraires; si alors on forme les équations (i) pour les nouvelles valeurs de a, 6, c, on pourra écrire que

les mineurs de s sont nuls, et l'on voit que, en général, on pourra déplacer l'une des figures, de manière qu'après le déplacement les figures aient en commun une infinité de points coïncidant avec leurs correspondants.

Si l'on prend la ligne double pour côté ^ = o du triangle de référence, et le point double isolé pour sommet opposé, les formules de transformation prendront la forme (2), l'équation en s se réduit à (.9 — a){s — b'){s — c")^= o, et, comme elle a une racine double, il faut, par exemple, que a = b' . Les deux figures sont alors dites homologiques. Les formules de l'homologie ramenées à leur forme la plus simple sont alors

Le point ^ = o, y = o, est le centre d'Jiomologie, la droite r 1= o est Vaxe dlioinologie.

Appelons O le centre d'homologie, D l'axe, M et M' les points correspondants dont les coordonnées sont respectivement ^, jr, z et x\ jk', z' \ les équations (3) expriment que les

points O, M, M' sont en ligne droite et que le rapport -=r^ est égal au rapport des distances du point M et du point M' à l'axe d'homologie, multiplié par une constante A. Ce qui revient à dire que, si P est le point où la droite OMM' rencontre l'axe, on a

Wi' ^ vu'

Cette formule peut servir à construire le point homologue d'un point donné; à son inspection on voit que :

I® Les deux droites joignant deux points et leurs correspondants se coupent sur Vaxe d'homologie ;

1^ Les tangentes en deux points homologues de deux courbes homologiques concourent en un même point de l'axe.

3° Les iaii^enles à une courbe menées par le centre (Vhomologie sont tangentes à la courbe honiolo gique ,

4" IJaxe dliomologle est une corde commune aux courbes homologiques.

5" Deux coniques cjuelconques sont homologiques de plusieurs manières ; chaque point de concours de deux tangentes est un centre d'homologle, une corde commune lui correspond en qualité d'axe d'homologle ; etc.

On voit que les droites correspondantes de l'infini sont parallèles; donc, quand on voudra amener deux figures homographiques à être homologiques, il faudra d'abord rendre parallèles les droites correspondantes de l'infini, après quoi une simple translation de l'une des figures suffira pour assurer l'homologie.

INous ne ferons pas d'application de l'homologie; disons seulement qu'elle peut servir à déduire du cercle une foul<î de propriétés des coniques : c'est ce que l'on peut voir dans les OEuvres de Chasles et de Poncelet, qui sont les inventeurs de l'homographie et de l'homologie.

Lorsque Ton suppose la droite ^ = o rejetée à l'infini, les formules (3) donnent