II. — Des fonctions développables en séries entières

Nous appellerons série entière une série de la forme

Po-l-Pi-i-...-l-P„-(- ...,

Po,P,,P2, ... désignant des polynômes entiers et homogènes en z^^ Z2, . . . , ^n respectivement des degrés o, i , 2, . . . une pareille série pourra encore s'écrire sous la forme

AvjjVj,... ^\

Av„v„... désignant un coefficient indépendant de s,, z^^ .... Bien que nous n'ayons pas exposé la théorie des séries triples, quadruples, etc., ce que nous avons dit des séries doubles et de la théorie de l'hyperespace suffit pour faire comprendre que la théorie des séries doubles s'applique aux séries multiples les plus générales; nous nous appuierons donc, sans autres commentaires, sur la théorie de ces séries dans ce qui va suivre.

Théorème I. — Les variables Zt^ Z2, . . ., z,i étant supposées contenues dans des cercles Gj , Co, • . .,Qm de rayons r^, ;'2, -'-y 1^11 décrits de l'origine comme centre, si les modules des termes de la série

(•) yAv.,v,,...-^(>

sont finis quand mod^i = r, , modso ^ /'o?

est convergente dans le domaine Ci, Go, . . . , G/^.

En effet, la série

dans laquelle on suppose

pi<ri, pi<r2 ... et pi>o, P2 > o, ...,

est convergente; cela peut se voir de bien des manières et en particulier en observant que la somme des p premiers groupes homogènes de la série (2) est égale au produit

[-fê)-(a'*-(r'][-(9--(r']-^'

qui tend vers une limite finie pour/? == 00.

Soit <^v„Vî,. . . le module de A^^ ^^ . . , les nombres <3^v„v,,. . f^'^l^-- étant finis par hypothèse, la série

sera convergente, et par suite la série (i), dont les modules sont les divers termes de (3), est elle-même convergente

Théorème II. — Lorsqu'une série entière est convergente dans un domaine D composé de cercles décrits de V origine comme centre, elle représente une fonction synectique dans ce domaine.

Théorème III. — Lorsqu' une fonction /(^i, z^2i • • •> ^n) est synectique dans un domaine D composé de cercles Cj, C^, •••, d,i décrits de Vori^ine comme centre avec des rayons R,, R2, ..., R/o elle est développable dans ce domaine en série entière.

En effet, considérons les points .r,, x-^^ . . ., x,i contenus dans le domaine D, la fonction de t

sera syneclique par rapport à ^ dans un cercle décrit de l'origine comme centre avec un rayon un peu supérieur à un, et l'on aura

«>(n = cs(o)-h ^J>'(o)-^. . .h o'Uo)^.. .,

et, comme l'on sait (t. I, p. i4 0'

formule symbolique dans laquelle il faut supposer ^, = o, ^2 = o, ... dans les dérivées; on en conclut le développement de '^{t)

qui, ayant lieu pour t = \ , donne