n \c)xi dx

Corollaire I. — Si une fonction /(^j, z^^ . . ., ^«) est synectique dans un domaine D composé de cercles Gj, G2, ..., G,o décrits autour des points a,, a-^, ..., «« comme centres, elle est développahle dans ce domaine en série de la forme

^ Av„v5....(^i — f^y^^^t — ci%y^. . . •

Gette condition, suffisante pour que le développement soit possible, n'est nullement nécessaire, comme on a voulu le faire dire à Gauchy et à ses disciples.

Corollaire 11. — Les coefficients du développement de f{zs^ So, . . .) peuvent se mettre sous forme d'intégrales définies, ou, ce qui revient au même, on peut mettre sous cette

forme la dérivée ^^ "â de /(xi, x^^ • • .? Xn)'-, en effet,

on a

27Zi/ — I^ *'!

/— iJ Si — ^1

, Zn)dZi . . . dz,i

^—i)"JJ {zi — xi),..{z„ — œn,)

les intégrales étant prises le long des cercles G| , Ga , . . . , C„, qui forment le domaine D et qui sont décrits des points ^1,^2, ..., ^„ comme centres avec des rayons que nous supposons égaux à R < , Ro, . . . , R^ ; on en conclut

dx^xl.., [^^^^ij JJ "'{z,-a:,r-^^{z,-x,)P^K.. a!?!... et en particulier, quand Xi = X2^= > - • = Xn = o,

(jg+p.../ ^ / I yrr fjzuz^, ...) dz.dz.^...

dx^^dxl... y-^^Z—i) J J '" z^'^'z^^K.. a!p!..r* Si Ton fait

on trouve

Cette formule nous sera utile.

Théorème IV. — Deux séries entières de la forme

^ Av„v„,...(-2l — <^l)'''(^2 — «2 )^^- . . ,

^t^i 50/2^ égales dans un domaine de dimensions finies, ont

b CHAPITRE I.

même domaine de convergence et représentent deux fonctions égales dans ce domaine; de plus, on a

AV,,V;,... = Bvi,V.,...'

Nous laissons au lecteur le soin de faire la démonstration.

Théorème V. — Une fonction ne peut rester synectique dans toute V étendue du plan; en d^ autres termes^ une fonction quireste monodrome, mono gène, finie et continue pour toutes les valeurs finies de ses variables^ devient nécessairement infinie pour des valeurs infinies de ses variables^ à moins de se réduire à une constante.

Ce théorème peut se démontrer directement à l'aide de la méthode déjà employée pour le cas où la fonction ne dépend que d'une seule variable; mais on peut aussi le démontrer en observant que, si la fonction /(iJi, z^^ . . . , z^) était toujours synectique même à l'infini, il en serait de même de la fonctiony(^,, «2, . . . , an) obtenue en attribuant à ;J2, ^35 - - - •> ^n des valeurs particulières a^, a^, . . . , an-, ce qui exige que la fonction y"(-^<, «2, . . ., cin) soit une constante, c'est-à-dire

soit indépendante de Zi . On a donc y^ =: o, quels cjue soient

Ziy «2? • • •» ^«j OU quels que soient ;:,, Z2, • • • ^n et, par suite, /"est indépendant de ^i. On verrait de même qu'il est indépendant des autres variables : donc il est constant.