VIII. — Digression sur les courbes du troisième ordre

Une courbe dn troisième degré a neuf points d'inflexion, car sahessienne est de degré 3. Toutefois, comme une courbe du troisième degré peut posséder un point double, on voit que le nombre de ses points d'inflexion pourra être réduit à trois et même à un, si elle possède un rebroussement.

Parmi les courbes du troisième degré, il y en aura de la classe 3.2 = 6; il y en aura de la classe 4 et de la classe 3, ainsi que le montrent les formules de Pliicker.

Les points d' inflexion sont toujours trois à trois en ligne droite.

En effet, soient MM'JNF un triangle formé par les tangentes à trois points d'inflexion, A, A', A" les points de contact : ou aura, en vertu du théorème de Carnot,

MA .M'A' .M^^A^^ __ WK'^ .M'A"' .Wx'

Cette relation, après extraction de la racine cubique de ses deux membres, donne une relation qui prouve bien que les points A, A', A'' sont en ligne droite.

Rapportons la courbe à un point d'inflexion, la tangente étant prise pour axe des x; il faudra que, pour j^ =z o, l'équation en X ait trois racines nulles; elle sera donc de la forme

'^•j désignant un polynôme homogène du troisième degré. Soient O le point d'inflexion, OM'M^' une sécante et M un point sur cette sécante, tel que