T I OM'--0M

ÔM ~ ÔM^ " ÔW' ~ "0\r .ÔM^' *

62 CHAPITRE m.

Le lieu du point M est une droite dile polaire haî^monique du point O; en effet, soient

l'équation de OM : les coordonnées de M' et M" sont données par

/'2cp3(cosO, sin6)-f- /-(a sin^O -I- 26 cos6 sin6)-h c sin6 =7: o;

il en résulte

OM — OM' a sin^O -^ ib cos6 sin6 a sin6 -f- ib cos6 OM . OM' ^ csinO ~ c *

donc

2 a sinô H- 26 cos6

OM "" c

Si l'on remplace OM par /•, on a l'équation de la polaire harmonique

a y -\- ihx -^ ic ^ Ç).

Supposons que le point d'inflexion O s'éloigne à l'infini : la polaire harmonique deviendra un diamètre rectiligne de la courbe pour les cordes parallèles à la direction dans laquelle le point O s'est éloigné.

Ainsi, par une transformation homographique ou même homologique, on pourra donner à la courbe un diamètre rectiligne, et même un axe; on peut faire mieux : prenons la tangente d'inflexion pour droite de l'infini, pour axe des x le diamètre et pour axe des y une perpendiculaire passant par le point d'inflexion à l'infini. Il n'entrera plus dans l'équation de termes en j^ et^^; car la droite de l'infini étant tangente d'inflexion, quand on aura rendu l'équation homogène, pour z=. o^ les termes du troisième degré en x ety devront former un cube parfait, ce qui exige que j^^^'y entre plus, puisque j^' n'y entre pas. Ainsi :

Par une transformation homographique on ramène toute équation du troisième degré à la forme

v2 = ax^ H- bx- -^ ex -^ d\

une transformation de coordonnées fait disparaître le terme <f , et l'on a, en général,

y"^ — x{x''-^ px -- q)=: x(x— ol)(x— 3).

Si la courbe possède un point double à l'origine, on a ^ = o et son équation affecte la forme

j2^ x'-(x—:t), et si elle possède un rebroussement, la forme

qui représente la parabole semi-cubique.