IX. — Figures corrélatives

Posons

x a^-^èTjH-c^ y a' l -\~ b' t] -\~ c' t,

et supposons que, ^, JK, ^ étant les coordonnées homogènes ordinaires d'une figure, ^, T), Ç soient les coordonnées tangentielles homogènes d'une autre figure. Les deux figures en question sont dites corrélatives; elles jouiront des propriétés suivantes :

i"^ La transformation n'altérant pas le degré des équations, à un point de la première figure correspondra une droite de la seconde et à une droite de la première figure un point et un seul de la seconde.

2" A une conique de la première figure correspondra une conique de la seconde.

3*^ En général, à une courbe du m^^^^ ordre correspondra une courbe de m^^^^ classe et vice versa.

4" A deux droites qui se coupent correspondent deux points et la droite qui les joint.

5" A une droite tangente à une courbe correspond un point situé sur la courbe correspondante .

6" A deux courbes et à leurs intersections correspondent

()4 CHAPITRE m.

deux courbes et leurs tangentes communes et vice versa; et en particulier à une courbe et à une droite avec les points dHntersection correspondent une courbe, un point et les tangentes issues de ce point, etc., etc.

7*^ A quatre points en ligne droite correspondent quatre droites concourantes, possédant le même rapport anharmo nique.

En effet, les équations tangentielles de c[uatre points en ligne droite peuvent être mises sous la forme

r-4-XiQ = o, P-T-X2Q=o, P-^-XaQr^o, P^-À4Q=o;

une transformation corrélative donne les quatre droites concourantes,

p-^l^q ^-zO, p -h ).2 q ^~- O, p - A3 q =0, p-^ \<^q zrr. o,

P, Q désignant des fonctions linéaires des coordonnées langentielles Ç, r, et/>, q des fonctions linéaires des coordonnées ordinaires x., y\ dans les deux cas, le rapport anharmonique est

\, - Ào . V - X,

Les figures polaires réciproques sont un exemple de figures corrélatives. Soit S = o l'équation de la conique directrice, la polaire du point x., y., c a pour équation

ôx ùy ôz

les coordonnées tangentielles de cette droite sont

^-^' '''-'dy' ---dz'

elle correspond au point x,j', z, et les formules précédentes

sont celles d'une transformation corrélative, puisque -r-» ^ ?

j^sont du premier degré. Il est aisé de voir que deux figures

corrélatives peuvent toujours être déplacées de manière à

pouvoir être considérées comme polaires réciproques, cette dernière transformation contenantcinq paramètres arbitraires.

TnÉoiiÈiME. — Toute JîgureY corrélative de laJlgureY' est une figure homo graphique avec la polaire réciproque de Y prise par rapport à une conique quelconque^ en particulier avec la polaire réciproque de F' relativement au cercle x- -\- y- -|- 3- = o.

Cela revient à prouver que deux figures corrélatives d^ une troisième sont homo graphiques : ce qui est évident. En effet, soient x, y^ z et x\ y' ^ z les coordonnées de deux points qui correspondent à la droite qui a pour coordonnées tangentielles ç, Tj, Ç; on aura, en appelant «, ^, . . . , a, j5, ... (^les constantes,

~lty.cz àx

Télimination de $, rj, ^ fournit entre x^ y, z et x\ y\ z' des lelations qui servent à définir une relation homographique. En général, la théorie des figures corrélatives ne donnera donc rien de plus que la théorie de la transformation par polaires réciproques dont on peut faire remonter l'origine à Brianchon, mais qui a été particulièrement développée par (^hasles et par Poncelet.

X. — Recherche de la classe d'une courbe algébrique et du nombre des points critiques d'une fonction algébrique.

Soit

une équation irréductible de degré m : elle représente une courbe de degré m : nous désignerons par n sa classe. Une transformation homographique n'altérant, ni le degré, ni la classe, ni la nature des points singuliers, on peut faire subir L. — Traité d'Analyse, IV. 5

66 CHAPITRE m.

à ia combe une telle transformation, de manière qu'il n'y ait pas de points singuliers à l'infini.

Ceci posé, soient a, p, v les coordonnées homogènes d'un point quelconque du plan, et, l'équation (i) étant rendue homogène, considérons le covariant

¥ , oàf df

es ^^ oc - —I— J • — —1— Y — > dx ^ dy ' dz

et évaluons la somme de ses ordres relativement aux cycles de/=o. Cette so.mme devra être nulle (p. 38) :

i<* Par rapport à un cycle dont l'origine est à l'infini, la courbe n'ayant plus de points singuliers à l'infini, l'ordre de cp sera — {ni — i); or la courbe /= o a m points à l'infini : donc la somme des ordres de cp relativement aux cycles ayant leur origine à l'infini est — m{m — i).

Maintenant prenons l'ordre de cp par rapport à un cycle dont l'origine est à distance finie ; cp ne s'annule qu'aux points de contact des tangentes issues du point a, ,3, v et aux points singuliers; alors :

2° L'ordre de cp en un point de contact est évidemment égal à un, et par suite la somme des ordres de co relativement à tous ces points est n, classe de la courbe.

3** L'ordre de o relativement à un point singulier peut s'obtenir comme il suit : on effectuera une transformation homographique consistant à prendre a = o, v = o ; alors co se

réduira à -~i mais, quand on substitue dans ~ les valeurs

àe y tirées de l'équation de la courbe, on obtient les produits des carrés des différences des valeurs de^. Pour avoir l'ordre de cp, il faudra prendre le produit des carrés de toutes les différences des valeurs àe y qui s'annulent pour ^ =: o ; mais ce produit (p. 43) est le double de ce que nous avons appelé le nombre des rencontres de la courbe avec elle-même. Il en résulte que la somme des ordres de cp est le double du nombre total des rencontres de la courbe avec elle-même. En appelant ce nombre ô, on a donc

— m {m — i)-Hn-j-2o =:o

OU bien

n = ni{ m — i) — 1 0.

Les points critiques de la fonction algébrique y définie par

l'équation (i) sont ceux qui satisfont à l'équation -~=zo;

toutefois les points singuliers à tangentes séparées ne sont pas critiques : le nombre (V des points critiques sera donc n; s'il n'y a pas de points critiques à tangentes séparées et si l'on désigne par r le nombre des cycles d'ordre supérieur à un qui correspondent aux points critiques, on aura

mais il faudra compter comme point critique double, triple, etc., celui où se réuniraient deux, trois, etc., cycles d'ordre supérieur à un.