XI. — Points d'inflexion d'une courbe algébrique

Cherchons, pour l'égaler à zéro (p. 38), la somme de dres de d'ordre m

ordres de la fonction -~^ par rapport aux cycles de la courbe

Nous aurons plusieurs espèces de cycles à considérer : la

fonction -j^ s'annule aux points d'inflexion de f=zo] il y

aura donc à considérer les cycles correspondant à ces points;

elle devient infinie pour r -- oo et aux points où —• est nul ;

d'ailleurs tous les points où ^ est nul peuvent ne pas rendre

~T^ infini : c'est ce qui peut arriver s'ils sont singuliers. Or

on peut supposer que l'on a transformé les coordonnées, de telle sorte qu'aucun des points où la tangente est parallèb; à l'axe des y ne soit singulier, et de telle sorte qu'aucune

68 CHAFITHK III.

asymptote de la courbe ne soit parallèle à l'axe des y. Ceci posé :

1** Les cjclcs relatifs aux points d'inflexion, c'est-à-dire

pour lesquels on a ^•., -= o, peuvent être représentés par des

équations de la forme

y --- \ xP ~ . . . ,

où/>c3, Tordre est un, la classe v est/? — i . Si le point d'inllexion est ordinaire, on aura p = 3, v =- 2,

et l'ordre àey" =z ,~ sera un ; si donc on considère un point

pour lequel la classe est v comme équivalent à v — 1 =/? — :>. points d'inflexion ordinaires, on pourra dire que chaque point d'inflexion fournit une unité à la somme des ordres de la

lonction -7^-

2*^ Les cvcles où ^ = ^ sont en nombre éo^al à la classe 11

dy ^

de la courbe/=:r o, en ces points qui ne sont pas singuliers grâce à ce que les axes sont quelconques, on a

y — b — \{x — a ) - -f- B ( .r — a ) -i- , . . et

dx-^ ~ 4 ^ ^ *■"

l'ordre de -r^ par rapport à [x — «)' est égal à — 3 : donc

dx-^

ôy

les cvcles où -^," =0 fournissent chacun — 3 unités à la

somme des ordres de la fonction ,*-•

dx^

3*^ Les cycles pour lesquels x est infini ont des équations

de la forme

TUANSFORMATIOiN DES FIGURES PLANES. ()()

et ne correspondent pas à des points singuliers, puisque les axes des coordonnées sont quelconques; on en tir^;

C?2 V ^ Cl

donc r" est du troisième ordre par rapport à-> et clia(|ue poi

>int à l'infini fournit 3 unités à la somme des ordres de r".

En résumé, la somme des ordres de y est le nombre i des inflexions de/=o, diminué de trois fois le nombre n des points où la tangente est parallèle auxj^, et augmenté de trois fois le nombre m des points à l'infini ; on a donc

i -'- 3 m — ^ n — o ou

Si la courbe y'=o n'a pas de points singuliers, on a

n -- m( m — i) et l'on retrouve la formule

c'est l'une des formules de Pliicker, en supposant que la courbe y=o ne possède pas de singularités.