XII. — Transformations quadratiques

Les formules de la transformation quadratique sont de la

forme

U. V,W désignant trois [)olynômes du second degré enx^]'. (^es formules peuvent être remplacées par les suivantes

cr' y' z' U=V"\V'

on .r, ) ', z' sont des coordonnées homogènes et oij U, V, W

peuvent être censés fonctions de trois coordonnées homogènes ^, j-, z.

Nous n'étudierons que la transformation quadratique birationnelle, c'est-à-dire telle que l'on puisse déduire des formules (i), x^y^z en fonctions rationnelles de x' ^y\ z' . Cherchons donc tout d'ahord la condi tion pour que les formules ( i ) représentent une transformation birationnelle.

En général, si l'on se donne le point (^', y' , z'), les équations (i) représenteront deux coniques ou même, si l'on veut, trois coniques

(■a) \yy—\z' =

Ihs — w

\ t' — Uj''=r o,

dont les intersections ^, J', z au nombre de quatre seront les points correspondants au point x' ^ y', z'. Toutefois, si les coniques U, V, W avaient trois points, A, B, C communs, les coniques (i) ou (2) passeraient par ces trois points fixes et n'auraient plus qu'un seul point d'intersection variable, et dont les coordonnées seraient fonctions de x',y', z' \ x, y, z seraient alors rationnels en x'^y', z'. Supposons qu'il en soit ainsi.

Prenons le triangle ABC pour triangle de référence : les formules (i) prendront la forme

Ayz H- ï^xz -f- Cxy A'yz

B'xz

C'xy

A"yz -f- B"xz -+- C'xy'

or, si l'on pose