XA
aA' -, vA' - I
aB-
;j.B H vB" r.o
XG +
[xC - vC" --()
/"A-l- [Jt."A'-+-v''A''r^O !
À" G + ;jl"G'-^v''G''-- I
les quantités A, |jl, v, ... seront bien déterminées si l'on n'a
pas
c'est-à-dire si les équations U = o, V = o, W = o sont distincts, et alors de (3) on déduira
yz ~ Jx " xy
Une transformation liomographique de la figure x' , r\ z' ramènera ces formules à la forme
Jz ~
" xz
xy
où Ton tire réciproquement
3 sorte qu'rtw point x,y, ;
', cor?
espoiic
, y, ^', et vice versa.
Considérons la transformation
qui donne
yz ~
zx
~'xy
donnons-nous le point M de coordonnées ^, J', z et vo^'ons comment on construira le point correspondant M' de coordonnées ;r', y ^ z'.
Soit ABC (Jig. 2) le triangle de référence 5 soient X = o, Y = o, Z r= o les équations de BG, GA et AB respectivement.
Le point M est à l'intersection des droites GK et AL, représentées par les équations
72 CHAPITRE m.
donc le point M' est à l'intersection des droites
que nous appellerons CIv' et h\l {Jig- -3).
Pour rendre les choses plus claires, nous construirons 1<
point M' sur une autre figure; CK' et AL' {fig. 3) seront de> droites, telles que
i-is. ;5.
donc :
CAL' = BAL, BGK'== AGK
i^ A un pointai non situé sur le périmètre du triangle de référence correspond un point M.' non situé sur le périmètre de référence.
2° Si par le point M on imagine un déplacement dx^ dy, dz, le point W subira un déplacement de même ordre dx\ dy , dz\ pourvu que M ne soit pas sur le périmètre du triangle de référence.
3" Il résulte de là que, si le point M est un point multiple d^une courbe, non situé sur le périmètre du triangle de référence, le point M sera un point multiple de même espèce de la courbe transformée. Et par point de même espèce, il faut entendre non seulement un point de même ordre de multiplicité, mais encore un point ayant le même nombre de tangentes confondues, les branches de courbe tangentes ayant le même ordre de contact dans la courbe proposée et dans la transformée.
4'* Supposons maintenant qu'une courbe ait en C un point multiple d'ordre v : voyons comment sera situé son correspondant et quelle sera sa nature. A cet effet, prenons deux points M et M,, sur deux branches de la courbe, voisins de C et en ligne droite avec A : leurs correspondants M' et M'^ seront sur deux droites CM' et CM', , faisant entre elles le même angle que CM et CMi , et très près de AB, de sorte que, si le point multiple placé en C a ses tangentes séparées, à ce point correspondront v points distincts sur AB.
5'' Supposons les points M et M, situés sur des branches de courbe ayant entre elles un contact d'ordre N; MM, sera d'ordre N + i et M'M'^ d'ordre N; aux branches tangentes en C correspondront donc deux branches tangentes de la courbe transformée n'ayant plus qu'un contact d'ordre N — i ; ainsi donc, si le point multiple placé en C a des tangentes confondues ayant des contacts d^ ordre N,N', N", . . . , à chaque couple de ces branches correspondront d'autres branches ayant un contact d'ordre N — i , N' — i , N" — i , ....
De ces remarques découle un théorème de la plus haute importance.
Théorème. — Au moyen d'une série de transformations quadratiques birationnelles, on peut toujours transformer une courbe algébrique quelconque, en une autre qui n'ait plus de points multiples à tangentes confondues.
En effet, plaçons le sommet C du triangle de référence en un point multiple à tangentes confondues de la courbe à trans-
74 CIIAFIÏKE III.
former, et choisissons le triangle de référence de telle sorte ([n'aucun de ses côtés ne touche la courbe; la transformation (|uadratique pourra bien introduire de nouveaux points multiples, mais aucun d'eux n'aura de tangentes confondues. Quant au point G, il a été remplacé par d'autres points simples ou multiples avec des branches ayant un contact d'un ordre moins élevé d'une unité que dans la courbe primitive.
En opérant successivement des transformations analogues, on pourra introduire de nouveaux points multiples, mais à tangentes séparées, et l'on finira par faire disparaître tout contact entre les branches qui passent par un point singulier. Ce théorème est de M. N(')tlier.
XIII. — Nouvelle espèce de formules de transformation des fonctions algébriques.
Considérons deux courbes algébriques
Si l'on établit entre les coordonnées x^y; -^'^ v' ""e relation algébrique,
(3) cp(x, a-';^, /)^o;
si l'on se donne le point (^', y') sur la courbe (2), œ ely se trouveront déterminés au moyen des équations (i) et (3) sur la courbe (i) et vice versa; le point {x^ y) étant donné sur la courbe (i), x' ely' seront déterminés au moyen des équations (2), (3).
Ainsi, en vertu de la relation (3) qui établit une correspondance entre les points (.r,y) et {x ,y') situés sur les courbes ( 1 ) et (2) respectivement, à un point de la courbe (i) correspondront, par exemple, k' points de la courbe (2), et à un point de la courbe (2) correspondront k points de la courbe(i).
Si une correspondance est telle qu'à un point de (i) cor-
TRANSFOUMA TION DES FIGLUKS PLAiNES. 76
responde un point seulement de (2) et vice versa, en d'autres ternies, si k =^ k' =^ i, on dit que la correspondance est uniforme, ou encore que les courbes (i)se correspondent /)0i>2^ par point.
Pour obtenir une courbe qui corresponde uniformément ou point par point à la courbe (i), il suffît en général de poser
'^, y, 6 désignant trois polynômes entiers^ si l'on éliminer ^ly entre (i) et (4), on tombe sur une équation, telle que (2), qui représente une courbe (2) correspondant point par point à (i).
En effet, si l'équation (2) est satisfaite, les équations (1) et (4) ont une solution commune x^ y. Si cette solution commune est unique (ce qui a lieu le plus souvent), ^ ety s'exprimeront rationnellement en fonction de x^ et j^'.
Ainsi, en général, une transformation, telle que (4), rationnelle, appliquée à une courbe algébrique, la transforme en une autre qui lui correspond point par point, et l'on passe de la courbe transformée à la courbe primitive au moyen d'une transformation de même forme que celle qui sert à passer de la courbe primitive à sa transformée.
Il y aura donc une infinité de manières de former des équations de courbes qui se correspondent point par point.
