XIV. — Théorème de la conservation du genre

Considérons deux, courbes G et C se correspondant point par point, c'est-à-dire de telle sorte qu'à un point de l'une corresponde un point et un seul de l'autre. Soient .r ety les coordonnées d'un point de G ; :r' et j^' les coordonnées du point correspondant de G' : alors x el y seront fonctions rationnelles de x' et de y', et vice versa d'ailleurs. Nous supposerons

cp, y, ^ désignant des polynômes dont le degré sera s.

jO C II A I' 1 i II K i I I .

Soient (ï, l), c des consLanles qiicleoii<|iics : considérons 1; fonclion linéaire de jt' et y'

el écrivons que la somme des ordres de cette fonction par rapport aux cycles de la courbe G' est nulle.

i" La somme des ordres de 0 par rapport aux c\cles pour lesquels x' et y' sont infinis est, en appelant m' le degré de C, le produit — m's; en effet, le nombre des cycles de C pour lesquels l'origine est à l'infini est m' et l'ordre de H par rapport à chacun d'eux est — s.

3" Si cp, y, 6 sont nuls à la fois, à clia([ue point (^', y') pour lequel cp = y = (}^ = o, correspondra un cycle; les ordres de ï), y, f^ par rapport à ce cycle étant désignés par A, il s'introduira dans la somme que nous voulons évaluer un terme égal à S A.

3" Enfin, si l'on considère un point d'intersection de la

droite

avec la courbe G, à ce point correspondra un point (:r',r) donnant lieu à un cycle, par rapport auquel l'ordre de 0 ser égal à un : le nombre total de ces cycles est m; ce nomb doit donc figurer dans la somme des ordres de 0, et l'on

re

(i) — m' s ~ lA - m — o.

Gonsidérons en second lieu la fonction

\ '^ dx' ' dx' / \ ^ dx * dx j \ ' dx' '- dx'

dans laquelle -—, désigne une dérivée totale relative à .r', égale

. df df dv' , , 1 , .

par conséquent ^ 3^ + ;j ' ;// ^t ou «, 6, c désignent trois

constantes quelconques, el écrivons que la somme de ses ordres relativement aux cycles de G' est nulle.

i" Les points x\ y' , situés à l'infini et qui sont au nombre

de m' , donnent des cycles par rapport auxquels l'ordre de T

est — '1 (s — i), parce que le degré de y -~, — '} -Â, parexenipjc

est 'li^s — i); ces points fourniront à la somme que nous voulons évaluer la partie - 2 ni' [s — i).

2*^ Les points où d.r' =^ o fournissent à la somme que nous cherchons l'élément — //, égal en valeur absolue à la classe de C

3° Considérons maintenant les cycles dont l'origine x' ^ y' annule le polynôme T et tout d'abord ceux pour lesquels l'origine satisfait aux c'quations

y d'\ — •]; d'i 'l» d'o - o dAj cp dj — y do dx' dx' dx'

Soit

X'— .r'r^//, \' ~-y' :-^ X'iJ' : . .. '

l'équation de l'un de ces cvcles et

\ ,; -^ iJ^ Y —y ^~- A V - . . .

Téqualion du cycle correspondant sur la courbe ('; on a

d'h ^ ^1. ^ i 7, ^'^ ~~ '\ ^f. \ 12. '^-^ 1 2 ^^ ' ^'^ /• dx ^ ^ ~dx' ~ \ ~ '1/2 dt " / '^ ■ dï ~ "^ dt ' di '

mais cp, y, '\j sont d'ordre h : la quantité précédente est donc d'ordre 2 A -j-y — y '.Les cycles considérés fournissent donc à

la somme que nous voulons évaluer i'élément\^(2A — 7 ~l~y).

4'^ Enfin nous avons encore à considérer les cycles dont les

coordonnéesdel'origine, sans annuler àla fois ^ — ^ ,- — -^- , • • - ■>

annulent cependant T. La relation T = o est une relation linéaire entre les coordonnées tangenlielles d'une tangente à la courbe G : elle exprime que cette tangente passe par un point fixe, ce qui détermine n points^, y et par suite /z points oc' ^y\ et n cycles apportant une unité à la somme que nous voulons évaluer, ii désignant la classe de G.

On a donc finalement

I ■/ ) — 1 ni ( .V — I ) ii - \- X ( 2 // - /' -1- y ) -i- /i = o ;

^8 CHAIMTRK (lî.

réliminallon de s entre (i) et (2) donne

( 3 ) n ~'2 m — ( n' - 2 fti ) - 2 ( / - - y ' ) =^ o.

Maintenant je dis qu'en tout point où l'on n'aura pas

dx dx dx' '

le cycle aj'antee point pour origine et le cycle correspondant sur la courbe G auront le même ordre.

En effet, les équations d'un cycle de G étant

\ = x -tJ, y ^y\- \tJ :...,

les équations du cycle correspondant de G' seront

cD(.r-i- tJ\ y' - MJ . . .)

ou

\ ^x' <b ' dy t^ /

donc, si l'on n'a pas

cp d'\> — ^b <^o = o, y d'h — 'h dy -^ o,

ce qui entraînerait ^ <:/cp — o d'I = o, l'ordre j du cycle de L\ sera égal kf, La même conclusion subsiste quand le point {jc^y) est à l'infini.

Dans la formule (3), on peut donc supposer que le signe \

s'étend à tous les cycles des courbes G et G' ; si l'on écrit celte formule (3) ainsi

( 4 ) ti — 2 m

on pourra dire que les signes \^ s'appliquent à tous les cycl«

dont l'ordre n'est pas égal à l'unité.

Nous verrons tout à l'heure que le nombre

est pair. Appelons-le i^p — i) : nous aurons alors

ou bien

ce nombre p est ce que l'on appelle le genre de la courbe C. On peut donc énoncer le théorème suivant, qui a été entrevu parRiemann, mais dont le véritable sens et la démonstration rigoureuse ont été donnés par M. Halphen et M. Smith.

Théorème. — Une transformation rationnelle n^ altère pas le genre d' une courbe.

Et, en particulier, une transformation quadratique (p. 6() n'altère pas le genre d'une courbe.