XV. — Limite du nombre des singularités

Dans le cas où la courbe algébrique C n'a pas de points singuliers à tangentes confondues, la formule (5) du paragraphe précédent qui donne le genre se réduit à

car il n'v a pas de cycles d'ordre supérieur à un, et, en remplaçant n par sa valeur, qui alors est (p. 67)

n = m{m — I ) — rj — m {m — 1 ) — > •

k désignant Tordre d'un point multiple, on a pour p la valeui

entière

( m — \)(m — ->.) "VI A(/.- — ^)

Je vais prouver que, dans ce cas, le genre est positif, c'està-dire que le nombre des intersections d'une courbe C avec

8o CHAPITRE m.

Il * » ^. ' • ^ (/" — i)(m — .>,) ,^ .,.

elle-même ne peut être siipeneur a ^ Ln elicl,

supposons que ce nomljre puisse être égal à

i ni — \)( m — ').) m- — 3 m - 4

r> in^~ 3 m - 4 , » r •

au moins. Par des rencontres taisons passer une

courbe G' d'ordre m — i , ce qui veut dire, par exemple, que si la courbe G a un point d'ordre de multiplicité /:, j'assujettirai la courbe à passer par ce point et à y avoir un point d'ordre k — I ; cela revient à assuj'ettir la courbe G' à

conditions; en elFet, assujettir la courbe G' à avoir un point d'ordre A" — i en un point déterminé, c'est bien l'assujettir

à — conditions. Or une courbe d'ordre m — i peut être

assuiettie a ou conditions; les con-

ditions auxquelles elle a déjà été assujettie ne permettent plus que de lui faire remplir

/»2 __ rn — 9 m^- — 3 m - 4

- —^.in — 3

conditions; profitons-en pour la faire passer par im — ) points de la courbe G. Gomptons à présent le nombre des intersections des courbes G et G'. En un point d'ordre k de G (p. 40' ^^^^ ont A(A' — i) points communs confondus, c'està-dire deux fois autant de points communs que la courbe G a d'intersections avec elle-même. 11 en résulte que le nombre des intersections de G et G' confondus sur les points singuliers est double du nombre (A), c'est-à-dire

ni^—Zm^ 4.

Si l'on ajoute à ce nombre les iin — 3 autres points par lesquels on a fait passer G', on a un total de points

7^2 — /;? 4- I — m {ni — I ) -r- I ;

TRANSFORMATlOiN DES FIGURES PLANES. 8l

mais les courbes G et G' sont de degrés m et m — i : elles ne peuvent donc se couper en plus de m{m — i) points que si une partie ou la totalité de la courbe G' se confond avec G; en d'autres termes, que si cette courbe G n'est pas une courbe proprement dite, mais bien un ensemble de courbes distinctes.

Maintenant considérons une courbe avec des singularités quelconques; au moyen d'une série de transformations quadratiques, on la changera en une courbe n'ayant plus de points singuliers à tangentes confondues. Gette suite de transformations n'aura pas altéré le genre; donc :

i" Gomme après la transformation le genre se trouve être un nombre entier positif, on en conclut que :

Le genre d'une courbe est toujours un nombre entier et positif {pour une courbe indécomposable).

2^ Si, dans la formule (5) du paragraphe précédent qui donne le genre p, on remplace n par sa valeur (p. 6^), on trouve

(m ~\){jn —2) '^^(^ — i) V^Cy — 0

et l'on voit que 5 + - ^(y — 0 ^st un entier.

Si une courbe peut se décomposer en d'autres d'ordre moindre, son genre peut devenir négatif; par exemple, un système de trois droites est une courbe de troisième degré de genre i — 3 ^ — 2. En général :

Le genre d'une courbe G formée de plusieurs autres G, , G2, . . . , Ck de genres p^ , /?2, . . . , pk en nombre k est

égal à

Pl-\-p.2-\-...-r-pk— k^l.

En effet, le genre P de la courbe G est, en appelant m son degré, 0 la somme de ses rencontres avec elle-même, j l'ordre d'un de ses cycles d'ordre supérieur à un,

le genre/?/ de la courbe C^- est, en le supposant de degré m/,

(mi—\)(mi—'x) ^ ^

pi= ^ — - — ^i-2^{ji-^),

0/ ety^ désignant pour cette courbe les quantités analogues à 8 et y. En général, les courbes C/ se coupent en

niy m^ -t- mj ma -f- . . . -+- m/t i m/,. = y nii m h

points que l'on peut regarder comme des points doubles de G ; on a donc

et, par suite,

la formule (i) donne alors

P = N /> — A-hl. C. Q. F. D.

ou

Nous allons voir que toutes les fonctions algébriques de même genre sont réductibles à des types simples au moyen de transformations rationnelles.

Au moyen d'une première transformation, Qn peut ramener une courbe algébrique à ne plus avoir de points singuliers à tangentes confondues (p. 78); soit donc

(i) f{x,y) = o ou f{a:,y,z)=o

une courbe algébrique d'ordre /?z à tangentes séparées, appliquons-lui la transformation

dans laquelle nous supposerons les polynômes cp, y^, t[/ de degrés s. Elle se transformera en une autre courbe

dont nous désignerons le degré par m. Commençons par évaluer m'. Désignons par di le nombre de points simples de/= o par lesquels passent les courbes cp^=:o,')(=o, (L = o; par c^o le nombre de points doubles de/=o par lesquels passent les mêmes courbes, etc. Coupons la courbe (3) [par

la droite

ax' -^ by -\- cz' = o,

le nombre des intersections m' sera celui des solutions des équations

qui est ms\ mais, de ce nombre, il faut défalquer le nombre des intersections de cp := o, ^=0,^ = 0, /= o, s'il y en a, parce que ces points fixes ne sauraient correspondre à des points x' ^ y' j z' \ le nombre de ces points est

<ii -f- 2 <f 2 -^ 3 c?3 -1- . . . ; on a donc

( f\) m' — ms — di — id^ — Zd^ — ... ;

le degré m' pourra donc par la transformation (2) être rendu d'autant plus petit que d^-\- id^-i- • . . sera plus grand, et il y aura lieu, dans le but, de simplifier l'équation /'= o, de faire passer les courbes (p =: o, -^ = o, J; = o par le plus grand nombre possible de points dey= o.

Ces courbes étant d'ordre s contiendront dans leur équa-

tion — paramètres variables, et Ion pourrait les faire

passer par autant de points de /*= o; mais il faut que ces courbes soient variaJjles, pour déterminer par leurs intersections un point variable x' ^ y', z' avec x, y, z : ceci exige qu'elles n'aient pas toutes les trois des équations de la forme w -4- X(^, u eli^ désignant des polynômes donnés et \ un paramètre indépendant de x', y\ 5'. Ainsi l'on ne pourra disposer

que de -^^ — 2 des paramètres contenus dans cp, -^, t];, et

l'on pourra seulement faire passer les courbes cp == o, -^ == o,

^=^0 par -^ — - — 2 points de/= o. Appelons p le genre

de/= o e\.f'= o. Soient d[,, d'.^ , . . . les nombres de points doubles, triples, etc., de/'=: o.

Faisons passer les courbes cp = o, y^ = o, (|i = o : i'* par di points simples dey^o; 2° par les d2 points doubles de la même courbe; 3" par les d^ points triples de la même courbe, mais en les assujettissant à avoir en ces points des points doubles; 4° par les dj^ points quadruples de y=o, en les assujettissant à y avoir des points triples, etc. Alors on aura, au lieu de la formule (4),

m' — ms — di — o.dy — ^dz — ...

ou, si l'on veut,

(5) m'= ms — {m — i){m — i) -\-ip — di,

à cause de l'égalité

on devra avoir ensuite, d'après ce que nous avons dit,

5(5 + 3 ou bien

ou enfin

(6) îilltl) > , + (»»-i)(m-a)

Examinons maintenant successivement les divers cas qui peuvent se présenter.

i*^ Courbes de genre o, /? = o. — On satisfait à la formule (6) qui devient

en prenant s=^ m — 2, la formule (5) donne

m' = m(m — 2) — ( fn — î)(m — 1)— di

ou

m' = 771 — 2 — di.

La différence entre -^ — — - — 2 et le nombre de conditions

î; il i imposes aux courbes © =z o, y == o, (J» = o est

on peut donc faire dans (Al) d^=^m — 4? et l'on a alors

Toute courbe de genre zéro peut être transformée en une autre du second degré.

Celle-ci à son tour pourra, au moyen d'une transformation quadratique, être transformée en une ligne droite; ceci revient à dire que :

Théorème I. — Les fonctions algébriques de genre zéro peuvent, au moyen de transformations rationnelles, être changées en fonctions du premier degré.

2" Courbes du genre un, p mule (6) en prenant

On satisfait à la for-

c'est-à-dire s = m — 2 ; la formule (5) donne

m' — m{m — 2) — (rn — i){m — i)-\- 1 — di OU

la différence entre — 2 et le nombre de conditions

^^ — I imposées aux courbes cp = o, y= o,

(m — 2 ) ( m -h 1 ) (jn — i V m — 2 )

on peut alors prendre di = m — 3, et l'on a, au mojen de la formule (B), m'=: 3. Gomme yo = i, la formule

donne

1 = 1 — û?2 ou û?2 = o ; donc :

Théorème II. — Les fonctions algébriques de genre un peuvent, au moyen de transformations rationnelles, être ramenées à des fonctions du troisième ordre de genre un.

3*^ Courbes de genre p^i» — Il faut toujours satisfaire à la formule (6), et l'on y satisfera en prenant s ^= m — 2. La formule (5) donne

m' = (m — 2)m — G^i — (m — i)(m — 2)-Hi> ou

le nombre de paramètres dont on peut disposer pour déterminer les courbes cp=:o, y^=iO, 'i/r=o est

on pourra donc prendre d^=^ m — 3 + /? ; alors la formule (G)

donnera

ensuite la formule

-^) ^,3rt

donnera

Il résulte de là que :

Théorème III. — Au moyen de transformations rationnelles^ on peut toujours changer une courbe de genre p en une autre de degré p -f- 2, avec des singularités équivalentes à — - —points doubles. C'est ce que nous appellerons une courbe normale.

En d'autres termes :

Une fonction algébrique de genre p peut être transformée en une autre d'ordre p -^ 1, avec des singularités

équivalentes à ^-^ — points doubles, au moyen de transformations rationnelles.

Tels sont les résultats entrevus par Riemann, et rigoureusement établis dans ces derniers temps, grâce au beau théorème de M. Nother. Le théorème de M. Nôther est en réalité le suivant :

Au moyen de substitutions rationnelles, on peut toujours ramener une courbe à n'avoir d'autres points singuliers que des points doubles à tangentes séparées.

Mais il n'existe pas, à notre connaissance, de démonstrations tout à fait rigoureuses de cette proposition générale.

XVII. — Formes les plus simples des fonctions de genre zéro, un et deux.

Une fonction de genre zéro peut être ramenée à satisfaire à une équation linéaire, et par une transformation homographique toute fonction linéaire peut être ramenée à la forme y ^=z X : telle est la forme normale d'une fonction de genre o ; en appelant alors 'r\ une fonction quelconque de genre o et ^ sa variable, ^ et v) seront des fonctions rationnelles de x et y = jp, c'est-à-dire de x. Ainsi se trouve démontré ce théorème que, si une courbe a son maximum de points doubles ^ ses coordonnées sont fonctions rationnelles d'un même paramètre X.

Une fonction r^ de genre un et sa variable \ sont fonctions rationnelles d'une fonction du troisième ordre et de sa variable sans point double. Or la fonction du troisième ordre sans point double peut, comme l'on sait (p. 62), au moyen d'une transformation homographique, être ramenée à satisfaire à l'équation

y^ = x{x — a)(a7 — P) ou y =^ sj x{x — a)C^ — P),

a et [^ désignant des constantes; par suite, i et v], pour une fonction du premier genre, seront de la forme

? = /(;r, R), Ti = F(^, R),

/et F désignant des fonctions rationnelles de x et du radical

Si Ton pose x = t^^ on trouve

7) - Fi [?, A^'-^)(^'--I)]

/ et F2 désignant des fonctions rationnelles. Nous verrons que le radical, sans cesser d'être du second degré, peut affecter les formes les plus diverses. Pour le moment il est établi que :

Lorsqu'une courbe algébrique a son maximum de points

doubles moins un, ou qu'elle est de genre un^ ses coordonnées peuvent être exprimées en fonction rationnelle d'un même paramètre t et d'un radical de la forme

A, Bj C, D, E désignant des constantes.

Considérons encore une fonction, ou plutôt une courbe de genre deux : elle est réductible à une courbe du quatrième degré avec un point double. Prenons ce point double pour origine des coordonnées, posons y z^ tx : l'équation de la courbe du quatrième degré se réduira à une équation du quatrième degré en x ayant deux racines nulles, et du quatrième degré en t. On pourra la diviser par ^-, elx s'en déduira sous la forme

A-^v/T d ou y = t ^

T désignant une fonction de T du sixième degré et A, B des fonctions rationnelles. L'x et l'y d^une courbe algébrique de genre deux seront donc des fonctions rationnelles d' un paramètre t et d^un radical carré recouvrant un polynôme de sixième degré en t.

Les coordonnées d'une courbe de genre p^ quand/? ^3, ne peuvent plus en général s'exprimer en fonction d'un même paramètre sous forme algébrique explicite.

Ces exemples montrent toute l'importance de la notion du genre, qui paraît aussi apte à classer les courbes algébriques que la notion de l'ordre. Il suffît, en effet, d'étudier les propriétés des courbes normales pour en déduire, par une méthode analogue à la méthode des projections, les propriétés les plus intéressantes des courbes du même genre.