XVIII. — Exemples de courbes de même genre
Une courbe et sa transformée par polaires réciproques^ ou même une quelconque de ses corrélatives, ont le même fn^enre.
go CHAPITRE III.
En efTct, la polaire réciproque de la courbe
s'obtient au moyen de la transformation
^ ' ôx ^ ' ây ^ ' dz'
qui est rationnelle. Cette polaire réciproque est prise par rapport à la conique ^^ | ^^2 j ^2 - q • mais toutes les autres courbes corrélatives de/=: o sont des transformées homographiques de celle-ci; le théorème est donc démontré.
Corollaire. — Nous verrons qu'une transformation par rayons vecteurs réciproques est un cas particulier de la transformation qnadratique; elle n'altère pas le genre; si l'on se rappelle alors que la transformée par rayons vecteurs réciproques de la podaire d'une courbe est la polaire réciproque de cette courbe par rapport à un cercle (p. 70, t. II), on voit qu'une courbe et sa podaire sont de même genre.
Une courbe et sa développée sont de même genre.
En effet, pour avoir la développée de la courbe/(^,jK) = o, il faut chercher l'enveloppe de ses normales, qui sont représentées par l'équation
x^— ^ XjzZ
àji ' àj ' dx dy
a la suite de ces rapports on peut écrire = — .^ >
Tz on aura alors deux équations qui donneront X et Y coordonnées d'un point de la développée en fonction rationnelle de x ety. Donc, etc.
Quand une courbe estunicursale, elle est carrable en termes finis, puisque ses coordonnées ^, j^ sont fonctions rationnelles
d'un même paramètre, et alors j ydx, son aire, estuneinté-
grale de fonction rationnelle. Toutes ses développées successives sont de même genre zéro, et par suite elles sont également carrables en termes finis. Il en est de même de ses transformées par rayons vecteurs réciproques, par polaires réciproques, et de ses podaires.
De ce que la polaire réciproque d'une courbe et cette courbe ont le même genre, il résulte que le genre d'une courbe peut s'exprimer au moyeu des singularités de cette polaire, qui sont relatives aux tangentes de la courbe ellemême^ mais cette formule ne nous sera pas utile.
