XIX. — Des transformations birationnelles

Une transformation est hlrationnelle quand, les anciennes variables étant des fonctions rationnelles des nouvelles variables, celles-ci, à leur tour, sont encore fonctions rationnelles des anciennes.

Soit

une transformation qui doit être birationnelle; U, V, W seront trois polynômes entiers en x^y^ z, homogènes et de degré m. Pour que cette transformation soit birationnelle, il faut que l'on puisse en tirer ^, y, z en fonctions rationnelles de x\y\ z' . Or à chaque point x', y' , z' correspondront m^ points, intersections des courbes

(2) Vs'— Wy=--o, W.r'— U^' = o.

Supposons que les courbes U = o, V = o, W = o se coupent en promis à\is fondamentaux ;\es courbes (i) ou (2) passeront par ces p points fixes et, par suite, ni- — p seulement de leurs autres intersections seront fonctions de x', y', z'; si l'on avait p = îïi- — I , un seulpoint d'intersection des courbes (i) serait fonction des ^', j^', ^'et serait fourni par des formules rationnelles en x' j y\ z' .

Pour qiiHl existe des formules de transformation birationnelles de degré m, il est donc nécessaire que les courbes U = o, V = o, W=o d'ordre m, aient m- — i points communs.

Mais cette condition est loin d'être suffisante; en effet, si l'on prend W = U + ). V, les courbes U, V, W =: o auront m- points communs et les courbes (2) auront les mêmes points communs qui seront fixes ; aux points x'^ y', z' correspondraient alors des points fixes : nous n'aurions pas ainsi des formules de transformation proprement dites.

Pour que nos formules de transformation puissent être regardées comme telles et soient de quelque utilité, il faut que, étant donné le point variable (^', y', z'), on en déduise pour (^, j', z)un autre point variable. Nous nous imposerons même cette condition que {x,y, 2)varie,de quelque façon que l'on fasse varier (œ', y' ^ z').

Supposons que l'on fasse décrire au point x' ^ y ^ z' une droite ax' -\- by' -{- cz' ^= Oy le point x, y., z décrira une courbe a\] + 6V ^- cW = o; nous nous imposerons cette condition que la courbe a\] -\- b\ -f- c W = o renferme deux paramètres arbitraires comme la droite qui lui correspond, ce qui n'aurait pas lieu si les courbes U = o, V = o et W = o faisaient partie d'un même faisceau.

Mais il se présente ici une difficulté; les courbes [J = o,

V = o, W = o devant avoir m- — i points communs, il semble

précisément qu'elles doivent faire partie du même faisceau ; car

une courbe d ordre m est déterminée par — ^^ - — ^points, et, si

m > 2, on a :^VZ^ 71 — <: m'^ — i . Mais cette difficulté disparaît quand on s'arrange de manière que les points communs aux courbes considérées soient des points multiples. Nous allons, en effet, prouver que :

Si les courbes 11 = o, V=:o, W = o ont en commun cl^ points ordinaires^ 7.2 points doubles , . ., y.^ points d'ordre

TRANSFORMATION DES FIGURES PLANES. gS

de niultipiicité k y on pourra toujours choisir ces nombres a,, ao, . . . , a^, de telle sorte que les courbes en question aient m- — i intersections communes et que la courbe

renferme encore deux paramètres arbitraires ^ c* est-à-dire qu^on puisse encore la faire passer par deux points arbitrairement choisis.

Deux points d'ordre k étant confondus, les courbes auxquelles ils appartiennent ont en ces points k^ points communs ; on devra donc avoir

(i) ai-f-4a2-i-...+ A^2a^.= m2-i.

D'un autre côté, la donnée d'un point d'ordre k impli-

k( k -{- 1) quant -■ conditions, il faudra qu'en obligeant la courbe

aU + 6V-l-cW à avoir a, points simples, 01.2 points dou-

blés, etc., on ne lui impose que — ^-^ — 2 conditions;

donc

Retranchons (2) de (i) : nous aurons

(3) a2-+-... -A-^aA.= -^(m-i)(7^-2).

Or, le point d'ordre k pouvant être considéré comme la

réunion de points doubles, cette dernière formule

prouve que les courbes aU -\- bY + cW =: o ont leur maximum - — ^^—- — — de points doubles; elles sont donc uni-

cursales, ce que l'on vérifie immédiatement en observant que ces courbes correspondent à des droites et qu'à des courbes unicursales doivent correspondre des courbes unicursales.

Théorème. — Si l'on considère les trois points multiples des courbes U=:o, V:=o, W=^o qui sont de l'ordre le plus élevé, la somme de leurs ordres est supérieure à m.

En effet de (i) et (3) on tire par soustraction ( 4 ) ai 4- 2 a, -4- . . . -H A^ ayt = 3 /?! — 3 ;

soient r, 5, t\es ordres des points multiples de l'ordre le plus élevé, (i) et (4) pourront s'écrire

ai -V 4 aa -i- . . . -h ^2 a^ = m^ — i — r^ — 5^, aiH-2a2H-...-f-^ 0Lt= 3m — 3 — r — 5;

multiplions la seconde formule par t et retranchons-en la première, le premier membre de l'équation résultante sera positif et l'on aura, par suite,

?( 3 m — 3 — r — 5) — m2 -f- 1 + r2 -+- 52 > o ou bien

or, si l'on égale le premier membre à zéro, on trouve

(5) m = ~ ±i/ ^- -{- r^-r-s^-^i — 3t — rt — st:

La quantité sous le radical peut s'écrire

-i- 'it^ — 2.rs -- St

Or r et 5 sont au moins égaux à f, donc cette quantité est

moindre que (r-i-s j ; par suite, les valeurs (5) de m

sont au plus égales arH-5 — -i ou a. r -\- s -i- t ; donc

enfin l'inégalité (4) ne saurait avoir lieu que si*

Ce théorème est important pour ce qui va suivre.

XX. — Réduction des transformations birationnelles à des transformations quadratiques.

Considérons une transformation birationnelle quelconque

U, V, W ayant la même signification qu'au paragraphe précédent; prenons pour sommets du triangle de référence les trois points singuliers des courbes U, V, W = o dont l'ordre est le plus élevé, puis effectuons la transformation quadratique sur une des courbes aU + 6 V 4- c W. En appelant r, 5, t l'ordre des points singuliers en question, une courbe d'ordre m se transformera en une autre d'ordre am — r — s — t moindre que m, en vertu du théorème précédent, mais elle présentera aux points fondamentaux des singularités d'ordre m — s — t, m — t — r, m — r — 5 ou m — (r-i-5-i-^) + r, ..., c'està-dire d'ordres au moins (p. 94) égaux à r, 5, t, qui seront encore des points de l'ordre le plus élevé, puisque la transformation quadratique ne modifie que les singularités des points principaux. Une seconde transformation quadratique abaissera encore l'ordre de la courbe considérée, et ainsi de suite. On finira par tomber sur une transformée rectiligne. Ainsi :

Théorème. — Toute transformation birationnelle se réduit à une série de transformations quadratiques.

D'ailleurs, une suite de transformations quadratiques constitue évidemment une transformation birationnelle.

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES DOCTRINES EXPOSÉES AU CHAPITRE PRÉCÉDENT.