III. — Théorème de M. Weierstrass

Soit f(Zi , Z2, . . , , Zn) une fonction synectique à l'intérieur dhin domaine D contenant le point

et nulle en ce point : si la fonction f[z^, o, . , . ,0), obtenue en faisant z 2-= z^=...=iZn=^ odansf{z^.^Z2, ..., Zn), n'est pas nulle, quel que soit z^ , il existera un domaine D' con-

tenu dans D tel que Von aura pour les points intérieurs à ce domaine

P désignant un polynôme entier en z^ à coefficients synectiques en ^2, ^3, • • •? ^n <?^ 'f une fonction synectique dans le domaine D' qui ne s^ annule pas dans ce domaine.

Posons, en effet, / = /(:;,, ^2, ---^ ^n), fo=-f{^i, o, ..., o), («) /i = /o-/;

la fonction /"o a un nombre limité de zéros dans le domaine D, puisqu'elle est synectique et qu'elle n'est pas identiquement nulle; on peut donc supposer qu'elle n'a pas de zéro autre que o dans un cercle de rayon p, décrit de l'origine comme centre. La fonction/^ en vertu de (i), est nulle pour ^2 = o^ ;;:.}== o, .... z,i = o, quel que soit ^< ; on peut donc supposer que, Zo, z-i, . . . ^ z,i restant intérieurs à un cercle de rayon p et Z\ extérieur à un cercle de rayon po<C ?? ^^ ^^^

mod/i < mod/o.

Le domaine ainsi formé par la couronne circulaire de rayons po et p, et par les cercles de rayons égaux à p, à l'intérieur desquels restent z^, ^3, • • . , z^, sera le domaine D'. Dans ce domaine on a

et, en différentiant par rapport à -G,,

df i df, d ^ i (f

f àzi /o dzi âzi ^ n \ fi

si l'on suppose /o de la forme

Y y^ sera de la forme ^ + ^{^\)^ ^(^0 désignant une série ordonnée suivant les puissances entières de ^i, c'est-à-dire

une fonction synectique dans le domaine D'; quant à ^> il

/o sera développable sous la forme

9 désignant une fonction synectique, ainsi que A, en sorte que 51 ~ ( T ) ^^^^ développable en une double série ordonnée suivant les puissances entières de z^ et de — à coefficients synectiques en So, ^3, .... Sa dérivée par rapport à z^ sera une série de même forme ne contenant pas —■> en sorte que la formule (2) s'écrira

(^) ig=f:-^(-)-i:Q-!-i:Q-

On voit que — -j- ^Q v^i ^ sera la partie du développement

de ^ y^ qui procède suivant les puissances de — ; cette partie

a donc pour coefficients des fonctions synectiques de z^, ^3, . . . , z,i dans le domaine D'.

Ceci posé, en appelant a,, ao, ... les valeurs de z^ qui annulent/i et qui ont un module moindre que celui de ^,, on peut écrire (3) ainsi

i df m ai «2 / N Vrv V

/ (^^i -Si -^1 — «1 ■Zi — a2 .^^

^1, ao, ... désignant les degrés de multiplicité des zéros

a< ,7.0, . . . , et, si l'on observe que g{Zi ) + ^Qv^'J est une

fonction synectique h dans le domaine D^, et que l'on peut poser

on déduira, en intégrant la formule précédente,

Or e^^^^'^ est une fonction synectique que l'on peut appeler cp et qui ne s'annule pas dans D'; on a donc, dans le domaine D',

/=Pcp;

or P est un polynôme entier en z,, et ses coefficients sont

P' synectiques en ^o? ^35 • • • ? puisque -p se développe en une

série à coefficients m, Q 2, Q 3j • • • synectiques. Ces coefficients sont Sa, Sa-, ... ; les coefficients de P sont des fonctions entières de Sa, Sa-, ... : donc P est bien à coefficients synectiques. c. q. f. d.

Il résulte de ce théorème de M. Weierstrass que, étant données des valeurs de ^27 ^3? • • • 5 ^«j la valeur de z^^ qu'il faut y adjoindre pour annuler la fonction /(z,, z^-, . • . , z,i), dans un domaine formé de cercles décrits de l'origine comme centre, est racine d'une équation algébrique P = o à coefficients synectiques : cela suppose que f{z^, o, . . ., o) n'est pas identiquement nul, c'est-à-dire que f{z^, Zo, • . •) contient au moins un terme indépendant de ^2? •• «i ^/z î plus généralement, cela suppose qu'il y ait un terme qui ne contienne qu'une variable.