I. — Courbes unicursales ou de genre zéro

Les courbes de genre zéro ont reçu le nom de courbes unicursales ; leurs propriétés les plus intéressantes résultent de ce que l'on peut exprimer leurs coordonnées en fonction rationnelle d'un même paramètre.

Commençons par démontrer que, si une courbe peut être représentée par des équations de la forme

cp, y., ^ désignant des fonctions entières que nous supposerons du degré 5, cette courbe est de genre zéro.

i°La courbe représentée par les équations (i) est d'ordre s\ en effet, elle coupe en s points la droite

ax H- by -{- c =0.

Les points d'intersection s'obtenant en éliminant x et j^ entre cette équation et (i), ce qui donne l'équation du degré s

acp4-èx-f-c<^=o;

les^ 5 valeurs de t qu'on lire de là, portées dans (1), feront connaître les coordonnées des s points d'intersection de la droite et de la courbe.

2^ Cherchons maintenant l'équation tangentielle de la courbe; il faut exprimer que la droite

lui est tangente ou, ce qui revient au même, que l'équation a une racine double en t. Cette équation différentiée donne de cette équation et de la précédente, on tire

Les coordonnées tangentielles Ç : rj : Ç pourront donc s'exprimer en fonction rationnelle de ^; le degré de la polaire réciproque de la courbe proposée sera, d'après ce que l'on a vu tout à l'heure, le degré des polynômes yj\i' — '^y^, . . . , c'està-dire 2 5 — 2 ; en effet, ce degré est en apparence 2.s — i , mais il est facile de voir que les termes de degré 2 s — i sont identiquement nuls. Ainsi la classe n de notre courbe est is — 2 ; en supposant que la courbe n'ait que des points multiples à tangentes séparées, on a, en appelant 3 le nombre desrencontres de la courbe avec elle-même,

, , > ^ (s — i){s — 1) is — i^is{s — i) — 20, 0=^ — ;

la courbe est donc de genre o.

3" Cherchons encore ses points d'inflexion; ce sont ceux

où la droite

ax -h by -h c-5 = o

rencontre la courbe en trois points confondus, ce sont ceux où

a'o -\- bj -^ c^ = o

a une racine triple; en rendant cette équation homogène par l'introduction d'une variable w, il faudra qu'en un point d'inflexion on ait

d2cp ^ dtdu

dtdu

^ du'-

ôu-^

c'est-à-dire

()2cp

dV^