II. — Courbes unicursales du second et du troisième ordre

Toutes les courbes du second ordre sont unicursales ou de genre zéro ; pour exprimer les coordonnées d'une conique en fonction d'un même paramètre, il suffît de désigner par a, b les coordonnées d'un point de la courbe ; le coefficient angulaire t de la corde qui va du point (a, b) au point

{x,y) est t = ~ ; si, dans l'équation de la conique, on fait

yz=b-{-{x — a)t^ le facteur x ^ a peut être supprimé et l'on a une équation du premier degré en^, qui le fait évaluer en fonction rationnelle de ^; y est alors aussi fonction rationnelle de ^, puisqu'il est égal kb -\- t(^x — a).

Les courbes unicursales du troisième degré ont un point double ; on peut ramener leurs équations, au moyen de transformations homographiques, à l'une des formes

jj/2 — -273 — aa72^ ^2 — ^3^

suivant qu'elles ont un point double ordinaire ou un rebroussement.

On peut donner à l'équation des courbes du troisième degré unicursales une forme remarquable : une telle courbe peut être représentée par les équations

Soient L, M, N trois indéterminées; si l'on exprime que L^ i ^ly | f^z est un cube parfait, on trouve trois systèmes de valeurs des rapports L:M:N; on a donc trois équations

de la forme

T^, T'^, T"^ désignant trois fonctions entières de t qui sont des cubes parfaits ; une transformation homographique remplacera ces équations par les suivantes

et l'élimination de t conduira à la forme que nous voulions obtenir

AX3-^BY3-f-GZ3 = o,

A, B, G désignant des constantes.