III. — Courbes unicursales du quatrième ordre
Les courbes unicursales du quatrième ordre étant de genre
3 2 zéro doivent avoir -^ = 3 points doubles.
Soit/(x, y^ z)z=o l'équation d'une conique quelconque rapportée à un triangle de référence. Soient w, ç, çv trois polynômes quelconques du second degré, tels que les coniques f^ = o, p = o, (V = o aient trois points communs, je dis que
sera l'équation générale des courbes unicursales du quatrième
degré, passant par les trois points communs à w = o, r = o, iv = o, et ayant ces points pour points doubles. En effet :
1° Les points par lesquels passent les trois coniques sont bien des points doubles, car on a
df âf du ôf dv df dw ^ dx du ôx âv âx âw ôx '
le second membre est évidemment nul pour w = o, c^ = o,
w ^= o] il en sera donc de même de -r^ ? -p? y- et les points
où l'on aura ^==10,^^ = 0,^^ = 0 seront des points doubles. 2° L'équation /*(w, r, w) = o contient cinq paramètres arbitraires, c'est-à-dire un nombre de paramètres égal à celui d'une courbe du quatrième degré dont on a donné trois points doubles, car une courbe du quatrième degré dépend de
i^ = i4 paramètres : la donnée de trois points doubles équivaut à celle de neuf paramètres ; lorsque ces points sont donnés, il ne reste plus que i4 — 9 = 5 paramètres dans l'équation.
Prenons, comme il a été dit, pour triangle de référence le triangle dont les sommets sont les points doubles de la courbe unicursale du quatrième degré; les coniques u = o, (^ = 0, w z=zo devront être circonscrites au triangle de référence, et auront des équations de la forme
y^yz -+- [ixz -4- varK = o.
Parmi ces coniques se trouvent les systèmes de deux droites
yz = 0, xz = O, xy = o,
de sorte que l'équation des courbes unicursales du quatrième ordre pourra se mettre sous la forme
fiyz, xz,xy) = o\
on obtient donc les courbes unicursales du quatrième ordre en effectuant la transformation quadratique
^ ' yz zx xy
sur l'équation générale des coniques
Les propriétés des coniques feront donc connaître celles des courbes unicursales du quatrième ordre.
En particulier, on sait que, quand une conique coupe les trois côtés d'un triangle, les droites qui joignent les sommets à ces points d'intersection sont tangentes à une même conique; on en déduit que :
Les six tangentes aux nœuds de la courbe unicursale du quatrième ordre sont tangentes à une même conique.
Car les droites joignant les sommets du triangle de référence aux points d'intersection de la conique qui, transformée par la substitution (i), fournit la courbe du quatrième degré sont à elles-mêmes leurs propres transformées et deviennent les tangentes aux nœuds. Pour le prouver, considérons l'équation
f{yz, zx, xy) = AjS^s | ^z'^x"- -4- Sl'x'^y'^
-\- iBx^yz -f- 2B'y^xz -^ 2B"z'xy.
L équation des tangentes en ^ = o, jk = o sera — ^ = o ou
Ay^ -{- A'x^ -h Q.B"xy = o;
c'est l'équation du faisceau des droites issues du point ^ = o, y = o et aboutissant aux intersections de la conique
avec la droite ^ = o. Donc, etc. c. q. f. d.
On peut classer les courbes du quatrième ordre unicursales d'après la manière dont les coniques desquelles elles sont les transformées coupent le triangle de référence, ou, si l'on veut, le triangle des trois nœuds.
En général, on appelle les courbes du quatrième degré des quartiques, et les courbes du quatrième degré unicursales ayant trois nœuds sont désignées sous le nom de quartiques
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trinodales. Lorsque les trois points d'intersection de la conique génératrice avec le triangle de référence sont réels, les trois nœuds de la quartique trinodale ont des tangentes réelles; si un côté du triangle de référence coupe la conique en deux points imaginaires, les tangentes à la quartique au sommet opposé sont imaginaires : ces points sont alors des points isolés.
Un cas intéressant est celui où la conique touche un côté du triangle de référence; le sommet correspondant est alors pour la quartique un point de rebroussement. Lorsque la conique génératrice est inscrite dans le triangle de référence, la quartique est dite tricuspidale, elle a alors trois rebroussements ; les tangentes aux rehroussements se coupent alors évidemment en un même point.
L'équation générale des quartiques tricuspidales se déduit facilement de la conique génératrice : cette équation est
