IV. — Sur la transformation par rayons vecteurs réciproques

La transformation par rayons vecteurs réciproques, dont nous avons déjà eu l'occasion de parler, est une transformation quadratique. En effet, en appelant r et r' les rayons vecteurs de deux courbes transformées l'une de l'autre par rayons vecteurs réciproques, en prenant le pôle pour origine

des coordonnées, on a

rr' = A2

et, en appelant x^ y et x' y les coordonnées des points dont r et A-' sont les rayons vecteurs,

d'où l'on tire

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. Io3

on a d'ailleurs

Les points fondamentaux sont les points circulaires de l'infini et le pôle de la transformation.

Étudions l'influence d'une transformation par rayons vecteurs réciproques sur le degré d'une courbe. Soit

l'équation d'une courbe de degré m, fi[x^ y) désignant en général un polynôme homogène de degré i. Si nous effectuons la transformation (i) en effaçant les accents devenus inutiles, nous obtenons sa transformée par rayons vecteurs réciproques

(3) k^"^f,n{x, ^)-f- rU-2— 2/^i(:r, j) +. . .-h r^"^fo = o,

r- désignant, pour abréger, x--ï-y-. Cette équation sera en général de degré 2 m. Ainsi, en général ;

Une titans formation par rayons vecteurs réciproques double le degré dhine courbe.

Toutefois, supposons que la courbe ait pour points multiples le pôle et les points circulaires de l'infini (points fondamentaux). Soient q l'ordre de multiplicité de l'origine, p l'ordre de multiplicité de chaque point circulaire de l'infini. Le dernier terme de l'équation (3) sera r2'"~2?A'^^y*^ et l'équation en question ne sera plus que de degré im — iq -\- q ou 2 m — ^ ; de plus r'-P sera en facteur partout, en sorte que, si on le supprime et si l'on désigne par m! le degré de la transformée, on aura

m' =^ im — ip — q\

en appelant p' le nombre de fois que la transformée passe par chaque point circulaire de l'infini, et q' le nombre de fois qu'elle passe par le pôle, on a en outre

on a de même

m = im' — iq'—p\ p = m' — iq\ q = m' — p' — q' .

Au surplus, ces dernières équations sont des conséquences de celles qui précèdent.

Gomme l'on voit, si m= 2p -\- q^ le degré m' de la transformée pourra devenir égal à celui de la proposée ni. C'est ce qui a lieu dans le cercle m= 2, p ^= i, q =^ o, quand il ne passe pas par l'origine.