V. — Des courbes anallagmatiques

M. Moutard a étudié les courbes qui sont à elles-mêmes leurs propres transformées par rayons vecteurs réciproques sous le nom à'' anallagmatiques ; elles jouissent de propriétés curieuses, grâce à la présence de leurs points singuliers qui coïncident avec les points circulaires de l'infini.

Théorème de M. Moutard. — Toute anallagmatique est V enveloppe d^ une série de cercles orthogonaux à un cercle fixe appelé directeur, et dont les centres se meuvent sur une courbe appelée déférente.

En effet, si l'on considère le quadrilatère qui a pour sommets deux points infiniment voisins de l'anallagmatique et leurs correspondants, ce quadrilatère sera inscriptible, et le cercle circonscrit touchera l'anallagmatique en deux points m, et m! , Du pôle O, menons la sécante Om, elle passera en m^ et l'on aura Om x Om'= k^, k désignant le module de la transformation-, si de O l'on mène la tangente à ce cercle, elle sera égale à A", et il est clair que le cercle de rayon k décrit de l'origine comme centre sera orthogonal au premier cercle considéré qui enveloppe l'anallagmatique.

Le cercle directeur est donc le cercle de rayon k décrit du pôle comme centre.

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. Io5

Réciproquement : Toute enveloppe de cercle qui reste orthogonal à un cercle donné est une anallagmatique.

Donnons-nous une déférente, c'est-à-dire une courbe le long de laquelle on fera mouvoir le centre d'un cercle orthogonal à un cercle fixe de rajon A"; prenons le centre de ce cercle directeur pour pôle d'une transformation de module k. La tangente à la déférente au point où se trouve le centre du cercle qui engendre l'anallagmatique est perpendiculaire à la droite qui joint les deux points où le cercle mobile touche son enveloppe; pour le prouver, il suffît d'observer que le cercle mobile a pour équation

a et 3 désignant un point de la déférente ; comme il est orthogonal au cercle x- -\-y- = k-, on a

et, par suite, son équation peut s'écrire

x^-^y^ — lOLX — 2 pj^ + /c2 = o ;

son enveloppe s'obtient en éliminant a entre cette équation et sa dérivée

qui exprime que le coefficient angulaire ^' de la tangente à la déférente est é^al à : la tano:ente à la déférente est donc

perpendiculaire au rayon vecteur des deux points où le cercle mobile touche son enveloppe.

Soit P le point où la tangente à la déférente rencontre le rayon vecteur 0 mm' des points où le cercle mobile touche son enveloppe; on aura

„ Om-^Om' .

OP = •. k^ = 0m.0m;

si l'on prend sur OP un point F tel que OP. 0F= A-^, le point P' décrira la polaire réciproque de la déférente par rapport au cercle directeur.

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De là résulte la conslruclion suivante de l'équation de l'anallagmatique.

Soit

l'équation de la polaire réciproque de la déférente par rapport au cercle directeur, courbe que nous appellerons aussi seconde déférente, les points m et m! ou plutôt l'un d'eux ayant pour coordonnées x etjK> et pour rayon vecteur r, r sera racine de l'équation du second degré

ou

r2 — 20Pr-f-^2^o

Or on a évidemment

de là et de l'équation précédente on tire

donc

ik'^x

ik\r

l'équation de l'anallagmatique est donc ik'^x ik'^y

ou, siy(^,jK, ^) = o est l'équation de la seconde déférente en coordonnées homogènes,

La substitution (2) transforme donc une courbe en une autre,

qui est l'anallagmatique, ayant la polaire réciproque de celleci pour déférente.

Tl est curieux de voir quelle est la transformée d'une droite

X cosa -i-^sina — p =0;

cette transformée est le cercle

ik-{x cosa -f- y sina) — /?(a:2 -f- j2 f ^-2) — o,

dont le rayon R est donné par la formule

Ce cercle est de rayon nul quand p = A", c'est-à-dire quand la droite donnée est tangente au cercle directeur.

Si donc on mène une tangente commune au cercle directeur et à la seconde déférente, si l'équation de cette tangente est

X cos a -h jK sin a — A" = o, alors

2A'2(a7cosa-i-jK sina) — k{x^ ^ y'^ ^ k^) = o

sera l'équation d'un cercle de rayon nul bitangent à l'anallagmatique : son centre sera donc un foyer. Ainsi

^ = A- cosa, j>/' = A-sina

sont les coordonnées d'un foyer de l'anallagmatique (3). Les foyers d'une anallagmatique sont donc sur le cercle directeur; il est facile de voir qu'ils sont aussi sur la première déférente.

En effet, ce sont les points de contact des tangentes communes au cercle directeur et à la deuxième déférente avec le cercle directeur; ces tangentes ont pour correspondants, dans la figure polaire réciproque, des points de la première déférente communs à cette déférente et au cercle directeur qui se correspond à lui-même.

Ainsi :

Les foyers d'une anallagmatique sont les intersections de la première déférente avec le cercle directeur.

Mais une anallagmatique a encore d'autres foyers qui sont les foyers mêmes de la déférente ; ces foyers sont des foyers singuliers.

En effet, les foyers de la déférente sont des points de concours de droites isotropes tangentes à la déférente ; ces droites sont évidemment tangentes à l'anallagmatique qui a pour points doubles les points circulaires de l'infini, car l'anallagmatique et la déférente ont évidemment les mêmes tangentes isotropes.