VI. — Anallagmatiques du troisième et du quatrième ordre

Soit /(^, JK, z) = o l'équation delà seconde déférente; nous avons vu que l'équation de l'anallagmatique était

son degré est donc en général double de celui de la seconde déférente.

La seconde déférente étant du second degré, la première sera du second degré aussi ; l'équation de la seconde déférente étant de la forme

Acc^-h iBxy -^ Cy^ lax ^ ihy

celle de Tanallagmatique sera de la forme

i{ax-\- by){x'^^ y'^-v-k'^)

-h A ^2 a 2 B xy -h Cj'2 = o,

elle sera du quatrième degré ; lorsque la seconde déférente passe par l'origine, la première est une parabole, l'équation (i) ne contient plus de terme constant et l'anallagmatique a pour équation *

(3) kx'^-^iBxy -^Cy"^-^ i{ax ^ by)(x^- -^ y^'-h k^) = o.

Les équations (2) et (3) sont, comme il est facile de s'en assurer, les équations les plus générales des anallagmatiques

du quatrième et du troisième degré. Elles peuvent en effet s'écrire

(5) i{x^ -^ y'){ax — by)-r- P -{- ik^-{ax^ by) = o,

P désignant un polynôme homogène du second degré.

Les anallagmatiques du quatrième degré ont pour points doubles les points circulaires de l'infini^ et, réciproquement, toute courbe ayant les points circulaires de V infini pour points doubles et qui est du quatrième degré est une anallagmatique.

La première partie de ce théorème est évidente à l'inspection de l'équation (4); réciproquement, toute courbe ayant les points circulaires de l'infini pour points doubles et qui est du quatrième degré a une équation de la forme

(6) (;r2-^JK^)2 + 2(aa7^- by^x"- -^y'^)^V^-\-V<^-\-V^^ o,

Po, P<, Po désignant des polynômes homogènes de degrés 2, I, o. Désignons encore cette équation par cp(^,y)=o, et transportons l'origine en a, p, nous aurons une équation de la forme

(^2 4 j2)2 ^ 2( a^ -^ èj) (372 -f- j2)

-^2{2ccx-^2^y){x^-\-y^)-^F',-i-x ^ +^^3 +?(«, P) = o;

cette courbe sera une anallagmatique rapportée à son pôle, si l'on a

2yt2(a-i-2a)=^, 2Â:2(6 + 2J3)=^, Ces trois équations détermineront a, [3, k; pour avoir le

IIO

nombre exact de leurs solutions, observons que l'élimination de A- donne

/ do âo do do

Posons

G=a2-^[32 + aa+èp,

H =. Aa2 -h G {32 -4- 2D a + 2E [3 4-

on pourra supposer

cp(a, P) = G2+H;

les équations (7) pourront alors s'écrire

dG / ^ dG dx doL

dG / r^ dG