V- 2G — TT
dx
•iG
dG
an
„.àGdG
ou
dG dU
dx âp"
d'^ dxj
^„ dG dG dH dn
La première de ces équations est du second degré, elle représente une courbe qui a pour directions asymptotiques l'axe des ;2^ et l'axe desy. La seconde est du cjuatrième degré, elle a les mêmes directions asymptotiques : donc ces deux équations ont huit solutions, dont six seulement sont finies; deux de ces solutions ne conviennent pas à la question : ce
sont les solutions 3
et a
qui ont été introduites
en éliminant A"- par voie de multiplication. Donc :
Les courbes du quatrième degré qui ont les points circulaires de V infini pour points doubles sont anallagmatiques par rapport à quatre pôles différents : elles ont donc quatre déférentes et quatre cercles directeurs ; elles
sont de quatre manières différentes des enveloppes de cercles orthogonaux à des cercles fixes.
VII. — Propriétés des foyers des anallagmatiques du quatrième ordre.
On peut mettre l'équation de la seconde déférente d'une infinité de manières sous la forme
(i) /-(Xi, X2, X3) = 0,
Xi, Xo, X3 désignant des polynômes homogènes du premier degré. Supposons, par exemple,
(2) Xii= aia7-+- (3ijK-i-Yi5
Si l'on fait la transformation
la courbe (i) devient une anallagmatique ; or, dans cette hypothèse, (i) devient
(3) /(ïiSi, Y2S2, T3S3) = o, et l'on a, en supprimant les accents,
S, est la puissance d'un certain cercle Si = 0 dont les coor-
données du centre sont ? — et dont le rayon est
-^ (a^ + jBJ) — A-2 . w gst donc orthogonal au cercle directeur.
Donc :
Toute anallagmatique du quatrième degré jouit de cette propriété, quHl existe une relation homogène du second degré entre les puissances d^un quelconque de ses points par rapport à trois cercles orthogonaux au cercle directeur.
Supposons que l'on prenne les trois droites Xi = o, Xo = o,
X3 ^ o tangentes au cercle directeur; alors on peut supposer
ai = coscpi, Pi=sincpt, Ti = ^^
et les rayons des cercles S,, So, S3 seront k'' — /:'• ou nuls; donc alors on voit que toute anallagmatique du quatrième ordre peut être reptésentée par une équation de la forme
/(Si, S2, S3) = 0,
Y^Si, ySs? y/'^^ désignant les distances dhin point de la courbe à trois points fixes.
Nous considérons en particulier trois droites Xi = o, Xa = 0, X3 = o tangentes à la seconde déférente et au cercle directeur; la déférente en question aura une équation de la forme
ai v/Xi -t- «2 v/^2 -t- «3 /X3 = o ;
l'équation correspondante de l'anallagmatique serade la forme
61 v/Si H- ^2 v/S2 H- 63 /S3 = o.
Donc :
Toute anallagmatique du quatrième ordre peut être considérée comme le lieu des points tels quil existe une relation linéaire et homogène entre les distances de chacun de ses points à trois points fixes.
Les points fixes en question sont les foyers de V anallagmatique. En effet, ce sont des centres de sphères de rayons nuls évidemment bitangents à l'anallagmatique, puisque ce sont les transformées de droites tangentes à la seconde déférente. Autrement, ce sont les points de contact du cercle directeur et delà tangente commune à la deuxième déférente et à ce cercle.
Il y a 4 tangentes communes à la deuxième déférente et au cercle directeur, donc ^ foyers, jouissant trois à trois de propriétés analogues à celles que nous venons d'énoncer.
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 1x3
Le nombre des foyers d'une courbe du quatrième ordre est (4.3)- ou i44î mais ce nombre n'est pas celui des foyers d'une anallagmatique. En effet, les points circulaires de l'infini sont des points doubles: cela diminue la classe de la courbe de 4 unités; par chaque ombilic on ne pourra meaer que 8 tangentes à la courbe dont 4 aux ombilics mêmes ; le nombre des foyers devra donc être réduit à i6. Ne considérons que les 16 foyers provenant des tangentes qui ne sont pas des tangentes aux points doubles : ce seront les 16 foyers que l'on peut trouver sur les 4 cercles directeurs, les autres foyers sont ceux des déférentes.
