VIII. — Ovales de Descartes
Parmi les anallagmatiques du quatrième ordre, il faut surtout remarquer celles qui ont les points ombilicaux non plus seulement pour points doubles, mais pourpoints de rebroussement. Nous les appellerons des cartésiennes pour une raison qui découlera de ce qui suit. Les équations des cartésiennes sont de la forme
en choisissant convenablement les axes, et l'on a entre les coefficients la relation
{\x'^^\iy'-)(\x'^-^Cy^)~-{{px -i- qy)Yiy = 0,
pour ^2 j y2 - o ; donc
A — G — />2 | ^2 i 2jD^ y/— [ = o.
On choisira ^ = o et l'on aura A — G = /?- ; donc l'équation des cartésiennes est
{x'^-^y'^f-\--ipx{x'^-^y^)-^{p'^-\- G)^2| Cj/2
ou
([) (x^'^y^-\-pxY-\- G(a72-4-j2)^ ^pk^-x -\- /c*
ilZj CHAPITRE IV.
ce que l'on peut encore écrire
Cette anallagmalique a pour deuxième déférente
(-fêy-4§i(-^-^^)=«'
c'est-à-dire une courbe dont le foyer est l'origine : la première déférente est donc un cercle. Réciproquement, si la première déférente d'une anallagmatique est un cercle, la seconde aura son foyer à l'origine, son équation sera de la forme (2), et l'anallagmatique correspondante (i) sera une cartésienne. L'équation (i) peut s'écrire
(^2 t j2 ^poc + ^2)2 4 G(a72 -4-j^2 ^p^ ^ k'^ ^ Q, p CC — C k^ = O
OU encore
ou, en appelant S la quantité
qui est la puissance d'un cercle, et P la fonction linéaire
Goa7-4-GÂ:2+ ^%
Cette équation représente l'enveloppe du cercle
(4) X2 — 2XS-t-P=0.
Si l'on égale le discriminant du premier membre à zéro, on exprimera que le cercle se réduit à un point foyer; or ce discriminant est un polynôme du quatrième degré en X contenant \ en facteur. A la valeur nulle de \ ne correspond pas de foyer, les trois autres valeurs de \ fournissent trois foyers
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 1x5
en ligne droite; cette droite des foyers est d'ailleurs la droite sur laquelle se meut le centre du cercle (4).
Entre les distances d^ un point de la courbe à deux des trois foyers que Von vient de trouver j il existe une relation linéaire.
En effet, appelons \^ l'une des valeurs de \ qui réduisent le premier membre de (4) à une somme de carrés, si l'on
pose
X2 2XiS-4-P = A,
on pourra, en éliminant S entre cette identité et S^ — P = o, mettre l'équation de la cartésienne sous la forme
Xf — 2X,v/P-i-P = A
ou
(5) Xi-v/p = /A;
en appelant X^ une autre valeur de \ et en posant
Xo— 2X2S-4-P =B, on aura de même
il existe donc entre \jK ety/B la relation linéaire
v/Â — v/B = Xi — X2.
Donc les cartésiennes ne diffèrent pas des courbes dont il a déjà été question sous le nom di ovales de Descartes. La dénomination d'ovales de Descartes s'applique surtout au cas où les trois foyers en ligne droite sont des points réels.
