IX. — Les cassinoïdes ou lemniscates
Lorsque la première et, par suite, la seconde déférente sont des courbes à centre ayant leur centre sur le pôle de la
Il6 CHAPITRE IV.
transformation, l'équation de l'anallagmatique est de la forme
Le cas où A = — G = 2C- est remarquable : la seconde déférente est une hyperbole équilatère et l'anallagmatique porte le nom de cassinoïdej ellipse de Cassini ou lemniscate. Elle a alors pour équation
i x'^ ^ y'^Y -^ ■ic'^iy'^ -- x'^) ^ k'* = o.
Si l'on fait k'' = c* — h'*, cette courbe est telle que le produit de chacun de ses points à deux points fixes distants entre eux de 2C est égal à une constante /i^, ce dont on s'assure en développant l'équation
^/{x — cY-^y^ \/{x-T-cy-^y^ = h'^,
OU, en coordonnées bipolaires,
uv = A2.
La cassinoïde est une courbe que nous avons déjà rencontrée et à laquelle nous avons appris à construire la normale.
La cassinoïde cesse d'être anallagmatique quand c = /i : elle a alors pour équation
mais elle est unicursale et est la transformée par rayons vecteurs réciproques de l'hyperbole équilatère
la cassinoïde porte alors le nom de lemniscate de Bernoulli. Son équation en coordonnées polaires est r^=^ c ^i cosfi.
X. — Transformées par rayons vecteurs réciproques et podaires de coniques.
Les transformées par rayons vecteurs réciproques de coniques ont évidemment pour équation
F(a72 -^ j2)2 ^ ik'^(^x'^-\-y'^){ax -h hy) -f- kx'^ -\-i^xy -h G72 := o ;
si la conique ne passe pas par le pôle, on obtient une anallagmatique du quatrième ordre; si elle passe par le pôle, l'anallagmatique est seulement du troisième ordre. L'équation tangentielle d'une conique étant
A^2 ^ 2Br,^ -i- Gr,2 -+- 2D^ 4- 2Ey) -i- F = o,
une tangente aura pour équation
la perpendiculaire à cette tangente menée de l'origine est
l'élimination de ^ et r, donne la podaire : pour trouver cette podaire, il suffît de remplacer ^ et Tj par
dans l'équation tangentielle de la conique, comme l'on voit :
La podaire d'une courbe fi' est autre chose que La transformée par rayons vecteurs réciproques de sa polaire réciproque, ce que Von savait d^ ailleurs.
On peut donc dire que les podaires de coniques sont aussi des anallagmatiques du quatrième ordre.
Parmi les podaires de coniques, il faut remarquer la podaire de cercle qui a pour équation
R désignant le rayon du cercle et 2 a la distance du centre au pôle. En coordonnées polaires, son équation est
(r2 — 2arcos6)2 — R2r2^ o ou
r- — lar cosO — Rr — o, ou enfin
r = R H- 2a cosO.
Il8 CHAPITRE IV.
Cette courbe est une conclioïde du cercle r = 2 a cos8. On lui donne aussi le nom de limaçon de Pascal. Quand R = 2^; on a
r = 4<^cos2ie = 2Rcos2|e:
la courbe est alors la cardioïde.
Dans la conchoïde de cercle, la déférente, ou l'une des déférentes, est un cercle, et l'un des cercles directeurs se réduit à un simple point.
