IV. — Des diviseurs des fonctions synectiques

Nous dirons que la fonction ^(^i, ^2? •••» ^/O) synectique pour Zi = Z2 = . . . ^ Zfi = o, est divisible par la fonction (j;(^|, ^2 5 • • •? ^11)1 synectique dans le même domaine, si l'on a

TTJ désignant une nouvelle fonction synectique dans ce domaine. Quand <]>(^o . . ., Zn)ne s'annule pas au point

cp est divisible par ^', dans le cas contraire, j est infini, o ne

peut pas être divisible par J>, à moins que l'on n'ait aussi cp(o, o, . . . , o)= o : ce dernier cas doit être examiné à part. Supposons donc o et ']> nuls pour ^, = ^2 = • • • = ^/j = o ; effectuons la substitution linéaire

^i = Y2I h + Y22^2 H-. . --r- "(intrn

de module différent de zéro; les fonctions cp etd/ se transformeront en d'autres f{t^, ti-, . . ., In) et ^(^o hf • • -, ^/O* Soient

on peut toujours choisir la substitution de telle sorte que/o et «Q ne soient pas nuls identiquement; alors, en vertu du théorème de M. Weierstrass, démontré au paragraphe précédent, on pourra trouver des polynômes P et Q entiers en tt et à coefficients synectiques satisfaisant aux identités

F et G désignant des fonctions synectiques dans le voisinage de l'origine. Nous supposerons

q = t'l -i-qitr' -^...^qn^

Pour que cp soit divisible par t};, il faut et il suffit que le polynôme V soit divisible par le polynôme Q.

En effet, pour que o soit divisible par tL, il faut et il suffît que /le soit par ^, ou que PF soit divisible par QG, ou enfin

que -çT p soit fini dans un domaine de dimensions finies, contenant le point ^< = ^2 = . • • = ^« = o ; or F et G ne sont pas nuls à l'origine, ni dans le voisinage de l'origine; pour que

j reste fini, il faut et il suffît que ^ reste fini, ce qui exige que P soit divisible par Q.