EXERCICES ET NOTES

1. Soient r et 6 les coordonnées polaires d'une courbe, r' et 6' d'autres coordonnées polaires, telles que

r=r'«, e=:/iO',

la courbe ayant pour coordonnées polaires r' et 6' est une transformée de la première (pour n = — i, on a la transformation par rayons vecteurs réciproques) : deux courbes se coupent sous le même angle que leurs transformées, quel que soit n.

r = acos6 représente un cercle et r» = a«cos/i6 représente, pour n = i, un cercle ; pour n — — i , une droite ; pour /i = 2, une lemnis-

cate; pour n = — 2, une hyperbole équilatère; pour n = -, un lima-

APPLICATIONS GÉ03IÉTRIQUES. 123

çon de Pascal; pour n = ? une parabole; pour n — — 75? une

caustique par réflexion de parabole, etc.

2. Le cercle osculateur de r"^ = a"^cosm^ intercepte sur le rayon vecteur une corde c, telle que l'on a, en appelant R le rayon de courbure, R = ^"^^ c. (Allégret.)

3. Voici quelques propriétés des courbes du troisième degré : l'équation de toute courbe du troisième degré peut se mettre sous la forme

apY-l-Xa'P'Y' = o,

a, [3, Yj a'j ^', y' désignant des fonctions linéaires.

Si d'un point M pris sur une courbe du troisième degré on mène des tangentes à cette courbe, par quatre points de contact Ai, A2, A3, A4 passent trois couples de droites dont les points de concours sont sur la courbe; les tangentes en ces points de concours passent par un même point situé sur la courbe et sur la tangente en M.

(Maclaurin.)

Si l'on mène d'un point les six tangentes que l'on peut mener à une courbe du troisième degré, les six points de contact (ce que l'on sait parla théorie des polaires) sont sur une conique; les six points restants où ces tangentes rencontrent la courbe sont sur une autre conique doublement tangente à la première.

Lorsqu'une courbe du troisième ordre est à la fois inscrite et circonscrite à un triangle ABC, le produit des rayons de courbure aux sommets A, B, G est égal au cube du rayon du cercle circonscrit au triangle. (Mannheim.)

Les courbes du troisième ordre peuvent être représentées par des équations de la forme

a?Y 4- Xa'3 = o,

a^-^pV'+Yl'— 3Xa?Y=o.

A chacune de ces formes correspondent des propriétés de la courbe que nous nous dispenserons d'énoncer.

(Pour plus de détails, on consultera avec fruit les Leçons de Géométrie de Glebch, recueillies par Lindemann. Traduction française par Benoîst, chez Gauthier-Villars et Fils, ou la Géométrie analytique de M. Salmon).

i. Le lieu des foyers des coniques inscrites dans un quadrilatère

est une courbe du troisième degré qui par projection fournit toutes les courbes du troisième degré. Cette courbe passe par les ombilics.

(SCIIROTTER.)

5. Si l'on mène à une courbe algébrique la série des tangentes parallèles à une direction donnée, le centre des moyennes distances des points de contact sera indépendant de cette direction.

(GhASLES, LlOUVlLLE.)

6. Soient Mi, M2, ... les points d^intersection de deux courbes algébriques; soient R^- et r/ les rayons de courbure de ces courbes au point M/, îii et w/ les angles que les tangentes à ces courbes en M/ font avec un axe fixe : on a

'^/cosli/ costioA I

^\~K; n~) sin^(i2,— co,-) ~ °"

(LiouviLLE, Journal de Mathématiques, t. VI.)