I. — Préliminaires
Toute relation entre une ou plusieurs fonctions d'une ou de plusieurs variables, ces variables et les dérivées des fonctions en question, est ce que l'on appelle une équation différentielle.
Une équation différentielle ordinaire est une relation entre une ou plusieurs fonctions d'une seule variable et leurs dérivées. L'ordre d'une équation différentielle est l'ordre de la dérivée de l'ordre le plus élevé qui entre dans cette équation.
Une équation est aux dérivées partielles quand elle contient des dérivées partielles relatives à plusieurs variables; son ordre est celui de la dérivée d'ordre le plus élevé qui entre dans cette équation.
Enfin on appelle équations aux différentielles totales celles qui contiennent les différentielles totales d'une ou de plusieurs fonctions et de leurs variables.
Les solutions des équations différentielles portent le nom à^intégrales de ces équations.
Les équations différentielles les plus simples sont les équations différentielles du premier ordre dans lesquelles la fonction inconnue ou la variable n'entrent pas. Au fond, ces deux cas n'en font qu'un. En effet, toute équation différentielle du premier ordre est une relation
f{x, y, dx, dy)^o
entre la fonction y, sa variable x et la dérivée -^ ou les différentielles dx^ dy. Or on peut supposer à volonté que x ou que y est la fonction, et y ou x sera alors la variable indépendante ; si donc, par exemple, x n'entre pas dans l'équation, elle pourra se ramener à la forme
f{y, dx,dy) = o,
et, comme elle est nécessairement homogène en dx etdy, on peut en tirer, théoriquement,
on en déduit
dx . .
= I ^(7)dy
const.,
et X s'obtient en fonction de y au moyen d'une intégration. La question est alors dite ramenée aux quadratures. Si y n'entrait pas dans l'équation, on en déduirait
-^—^{x), y = j ^{x)dx->r const.
et le problème serait encore ramené aux quadratures [à la quadrature de la courbe dont l'ordonnée est ^(^)]. Le nombre des fonctions dont on sait trouver l'intégrale est restreint; mais nous verrons bientôt que cette circonstance ne tient pas à l'imperfection des méthodes que nous avons fait connaître, mais bien à ce que certaines intégrales sont des transcendantes sui generis, que l'on est dans Fimpossibilité absolue d'exprimer à l'aide des signes de l'Algèbre et de la Trigonométrie employés en nombre fini ou, comme l'on dit quelquefois, en termes finis. Nous nous ferons comprendre en faisant observer que, si l'on ne connaissait que les fonctions algébriques, on serait dans l'impossibilité de donner
l'expression de l'intégrale de — ? le logarithme de x ne pouvant pas s'exprimer algébriquement au moyen de x.
Pour élargir le cadre du Calcul intégral, nous étudierons dans les Chapitres suivants les intégrales des fonctions algébriques qui sont des transcendantes nouvelles, afin de pouvoir les introduire dans les calculs, comme on a déjà introduit les logarithmes, leurs inverses les exponentielles et les fonctions trigonométriques, fonctions qui se seraient, comme nous le verrons, présentées d'elles-mêmes dans l'étude des intégrales des fonctions algébriques les plus simples.
II. — Fonctions implicites définies par des équations différentielles.
Considérons le système d'équations différentielles simultanées au nombre de v
dy , ,N
entre les v fonctions x, y, z, . . . , la variable t et leurs dérivées -y-j -—-^ • • •? résolues par rapport à ces dérivées.
Si l'on suppose que, x^ y, z, . . ., ^ variant respectivement autour des points Xq, yQ^ Zq, . . ., tQ les fonctions ^, y, 6, ... restent synectiques par rapport à ces variables, les équations (i) admettront une solution, se réduisant au système x = Xq^ y =yo, ^ = ^o, - • - -, pour t=to.
Chacune des fonctions x, y, z, ... restera synectique à ^intérieur d'un cercle décrit du point tQ comme centre avec un rayon R défini par la formule
A désignant une quantité moindre que le plus petit des modules de x — Xq^ y — y^, . . . , pour lesquels cp, y, tj;, ...
cesseraient d^ être synectiques autour des points Xq^ y Qj . . ., ^0 et M désignant une quantité plus grande que le plus grand des modules maxinia de cp, y, ^, . . ., quand x, y^ z^ . . . se meuvent dans les cercles de rayon A ayant leurs centres en Xq, yo, . . . , ^o-
Admettons un instant la propriété qu'il s'agit d'établir, et calculons les dérivées successives des fonctions x^ y, z, .... Pour cela différentions les formules (i), nous aurons
d-cp ào dx ^'f dy d(f
"di^ ~ àxlTt '^ dy^}~^"'^ ~dt^ d^y dy dx dy dy dy
'dW ~ 'dx ~dt ~^ 'dy ~dt '"'^'di^
ou, en remplaçant -jt^ -i' • • • par leurs valeurs (i)
d^ X ào do
'di^ "^ "^ dx '^ '^'^ dy '^ " "
dt^ ^ dx ^- dy '
//3 /y» WS '1/
On aurait de même -n^^ "^' '*"' ^^ différentiant ces for-
mules (2) et en remplaçant -j-, -—■> • • • par leurs valeurs (i), . 1 . dx d^x d^x ,
et amsi de suite. -7-? —7-? -r-^y •••ne seront autre chose
que la fonction «pet ses dérivées totales successives que nous
représenterons parcp(^), ^'(0' '/(^)? ••• ; de même-^? -^, . • •
pourront être représentés par y(^), x'(^)' * * * ' ^^ ^'^^^ aura, par la formule de Taylor supposée applicable,
je vais prouver que ces formules sont effectivement àes intégrales de (i). Et d'abord je prouverai qu'elles sont convergentes :
En effet, on sait que Ton a (p. 5)
-"■'""""Kit.) X X '" AaBPGï
X cp(a7oH-Ag^^^, 7o-i-Be^v'-r^ ,..)d\dr^...,
A, B, G, ... désignant des quantités moindres que les rayons des plus grands cercles décrits àe Xq^ y^, Zq, ... comme centres qui ne contiennent pas de points critiques de la fonction cp. Si dans cette formule on remplace l'exponentielle par son module i, la fonction cp par une quantité M supérieure à la plus grande valeur que peut prendre son module dans les cercles de rayons A, B, . . ., dont il vient d'être question et A, B, G, ... par une quantité A moindre que chacun d'eux, on aura
mod
ou
f)a+p+...cp(3,^^^^^ .,.) a! [3!... M
Maintenant considérons les équations dx M
dt
(5) { dy M
de ces équations on tire dx = dy = ... et, par suite,
X — Xt) = y — y^) = z — ^0=..-; L. — Traité d'Analyse, l\
j3o chapitre V.
donc
dx M
dl / X — X^^\^ l t — to
et par suite
dt
t — to
En intégrant depuis t =^ tQy on a
et les fonctions x, y^ ... resteront S3'nectiques, tant que cette équation et sa dérivée relative à x n'auront pas de jacine commune. Cette dérivée est
la valeur de x tirée de là et portée dans (a) donne
I+(v+l)Ml0g(l- ^^^«)=:0,
OU
En résumé, les équations (5) fournissent des valeurs de x,y, z, ... svnectiques autour du point t= t^^ et que l'on peut développer en série à l'intérieur d'un cercle décrit autour de Iq avec un rajon R fini, déterminé par la formule
,e (v+i)MJ
Les formules (3) serviront à effectuer les développements de X, y, z, ... ; mais il faudra y supposer cp, y, (]>,... égaux , M
Revenons actuellement aux équations (i) : si, à l'aide de ces équations on forme, comme il a été expliqué, les formules (3
DES TRANSCENDANTES. l3l
celles-ci seront convergentes, et en effet on vient de voir qu'elles étaient convergentes pour le cas particulier où l'on remplacerait
Or, dans ce cas, i° les modules cp, y, ^^ — pour ^ = ^o ne peuvent qu'augmenter, puisqu'ils sont remplacés par M qui est supérieur à chacun d'eux, 2" les modules de leurs dérivées ne peuvent qu'augmenter, puisqu'ils sont moindres en vertu de (4) que les dérivées de $, à savoir
^a+p+...(^ of!8!...M
Alors, en vertu des formules (i), (2) et de celles que l'on obtiendrait en les différentiant encore, x^ --^, ^TT' ' ' ' ' J^' -^? -T^? •••pour t=tQj c'est-à-dire les valeurs des modules des fonctions 9(^0)7 f'{h)y • • • 7 ^(^0)7 ^'(h)-> . • • , ne peuvent qu'augmenter et, par suite [les séries (3) étant convergentes après la substitution devaient l'être avant], la convergence des séries (3) est établie ; si l'on tire des formules (3)
les valeurs de -17 > ~i}^ "' pour les substituer dans (i), on aura
Mais, en développant les seconds membres, on a t — u
fd':> )-\-{t — Iq)
\'dà) \ ~dÈ ) ' * * • désignant les dérivées totales de cp p
our
l32 CHAPITRE V.
t =z to prises en regardant .Xj y, z, ... comme des fonctions de t définies par les formules (3). Or
d(û d(f dx àv> dy <9cp
'di ~ dx ~di 'dy lit '" Tt '
si l'on fait t=^ t^, on a, d'après les formules (3),
on a donc
d<f\ do do
Le second membre de cette formule est précisément ce que nous avons appelé ^'(^0)7 et ainsi de suite ; la formule (6) est donc identique, et par suite il est prouvé que les formules (i) admettent une solution x, y, z^ ... qui pour ^ = ^^ se réduit kœQ,yo, ^05 • • • ^t reste synectique dans le voisinage de ce point, tant que le module de t — Iq reste inférieur à
a[i — e (v+i)mJ.
