III. — Remarques au sujet du théorème précédent

Il est facile de prouver qu'il n'existe qu'un seul système de valeurs de œ^ y, z, ..., monodromes, satisfaisant aux équations (i) et se réduisant k Xq^ yo, ... pour ^ ^ ^o- En effet, s'il existait un second système jouissant de cette propriété, on pourrait le représenter par ^ + ç, y + y, , ^ -|- Ç, . . . , on aurait alors

pour t = to, et

dx d^ . ^ ,

d'où l'on conclurait, en vertu de (i),

DES TRANSCENDANTES. l33

Remplaçons dans ces formules x^y^ z, ... par leurs valeurs en fonction de ^, on aura

~^ dx'

dr, dt

^ dx

pour ^ = ^0 ; ij *^i ? S j • • • sont nuls : donc -r.y -j-^ • • • le sont

aussi : ç, r,, Z, . . . sont donc de la forme (t — to)^-^j où a est au moins égal à deux, ce qui est absurde. En effet, dans les équations précédentes, les seconds membres sont d'ordre plus élevé par rapport à ^ — Iq que les premiers.

I^a démonstration du théorème fondamental que nous venons de donner est due à Cauchy; mais nous avons profité de quelques simplifications apportées par Briot et Bouquet (Théorie des fonctions doublement périodiques).

IV. — Sur l'existence et l'expression des fonctions implicites.

Du théorème démontré (§ II) résulte la synecticité des fonctions implicites. En effet, considérons les équations

fl = 0, J\=0, ..., fn=0,

dans lesquelles/,, . . . , f,i désignent des fonctions de n-\- i variables jKm JK2j - - - ■> yn et œ; ces équations définissent n fonctions implicites ^4, ^2? ••• de ^; ces fonctions sont synectiques, car elles satisfont aux équations différentielles

àfi àfi , dfi ,

l34 CHAPITRE V.

OU bien

dans lesquelles Al ,, A, 2, ... ontdes valeurs bien déterminées si l'on n'a pas

et elles seront développables suivant les puissances entières de ^ — Xq à l'intérieur d'un cercle de rayon

A désignant le plus petit des modules x — ^0 5 JKi — jKi 0 < • • • pour lesquels les seconds membres de (i) cesseraient d'être synectiques et M désignant le module maximum de ces fonctions quand ^, jKi? JKs^ • • • se meuvent dans des cercles de rayon A ayant leurs centres en ^o? JKio? JK20) • • • î enfin y, o> j>^2o sont les valeurs de j^4,jK2' ••• pour ^ = ^o-

V. — Remarque fondamentale au sujet des divers contours d'intégration que peut suivre une variable.

En vertu d'un théorème connu de Gauchy, l'intégrale d'une fonction f(z) prise entre Zq, Z reste la même quand on déforme d'une manière continue le contour d'intégration, pourvu que ce contour ne franchisse pas de point critique de la fonction.

Gela posé, imaginons un contour d'intégration quelconque, ZqZ; sur ce contour appliquons un fil flexible attaché en z^^ et fixé en ce point; au point Z fixons un anneau et faisons passer l'extrémité du fil par cet anneau. Supposons que la fonction f n'ait que des points critiques isolés (nous n'au-

DES TRANSCENDANTES. l35

rons pas dans la suite d'autres cas à considérer) ; en ces points critiques fichons des piquets ronds; cela fait, tirons sur notre fil. •

Le fil va changer de forme, et, pendant sa déformation, il représentera, à chaque instant, un nouveau contour d'intégration fournissant toujours la même valeur de l'intégrale, puisque, grâce aux piquets fichés aux points critiques, le contour d'intégration représenté par le fil n'a pu franchir un tel point.

Supposons maintenant que notre fil soit complètement tendu : il aff"ectera la forme générale d'un polygone ayant pour côtés les droites joignant les points critiques, d'une droite joignant le point Zq à un point critique et d'une droite joignant un point critique au point Z.

Lâchons le fil en Z, puis, appliquant un piquet sur chacun des côtés du polygone, ramenons ce piquet en Zq en entraînant le fil; passons ensuite successivement le piquet entre le fil et les piquets fichés aux points critiques qu'il pourrait embrasser une ou plusieurs fois et ramenons le piquet mobile en ^0 en entraînant les brins de fil. Le contour d'intégration représenté par le fil, en se déformant, ne franchit toujours pas de point critique, et notre intégrale prise le long du contour définitif a la même valeur que l'intégrale prise le long du contour primitif.

Le contour d'intégration affecte alors la forme d'une série de boucles entourant les points critiques, que l'on peut considérer comme des lacets, et d'une ligne ordinairement droite allant de Zq à Z. Il n'y aurait d'exception à cette règle que s'il se trouvait un point critique sur la droite ZqTj', le chemin rectiligne ZqTj pourrait alors être remplacé par un chemin légèrement courbe ne passant pas par le point criti(jue. De là résulte cette proposition fondamentale :

Théorème. — Lorsquon veut intégrer la fonction f{z) entre les limites Zq et Z, tout contour peut être ramené, sans changer la valeur de V intégrale, à une suite de lacets

l36 CHAPITRE V.

enveloppant les points critiques, ayant leur entrée en z^ et au chemin rectiligne ZqTj.

VI. — Des transcendantes auxquelles conduit l'intégration des fonctions rationnelles. — Logarithmes.

Le problème qui se présente au début du Calcul intégral est l'intégration des fonctions rationnelles. Pour le résoudre, il est naturel de décomposer ces fonctions en éléments simples

de la forme Kx^ et ; — ? où a. A, m, n désiernent des

constantes, dont les deux dernières sont des entiers. Chacune de ces fonctions simples peut être intégrée; toutefois, quand n=^i, on est conduit à la considération de la fonction

que l'on ramène facilement, par un changement de variable, à

Cette fonction est la fonction logarithmique; bien qu'elle nous soit parfaitement connue, il ne sera pas inutile de déduire ses propriétés de l'équation

dz — >

de prouver que cette fonction ne peut pas s'exprimer en fonction algébrique de x et de montrer qu'elle constitue une transcendante.

D'après ce que nous avons vu au paragraphe précédent, tout contour d'intégration conduisant de i à jp peut être ramené à une série de lacets ajant leur entrée au point i enveloppant le point critique o, et au contour rectiligne allant du point I au point x. Appelons u la valeur de l'intégrale prise le long de ce dernier chemin.

L'intégrale prise le long du lacet se compose : i'^ de l'intégrale

prise le long d'un bord; 2" de l'intégrale prise le long du cercle, laquelle est égale à dz 2uy/ — i multiplié par le résidu de - ou I ; 3° de l'intégrale

'^dz

prise le long de l'autre bord, cette intégrale détruit la première; en tout on a donc, pour l'intégrale prise le long du lacet, d= 2 71 y/ — i j suivant que le lacet a été parcouru dans le sens direct ou rétrograde.

Supposons que le lacet ait été parcouru m fois dans un sens, n fois dans un autre, et que l'on ait ensuite parcouru le chemin rectiligne; on voit que la valeur de l'intégrale sera

aNir / — 1+ u,

N représentant la différence des entiers m et n, et u représentant l'intégrale prise le long du chemin rectiligne qui va du point I au point z. L'intégrale a donc une infinité de valeurs.

Si Ton appelle j" le logarithme de ^, en sorte que

la fonction inverse x de y pourra être désignée par e^ et, en vertu d'un théorème connu (p. 127), e^ sera monodrome, monogène, finie et continue dans toute l'étendue du plan, excepté pour x = o et^ = ao; mais alors y est infini. D'après ce que l'on a vu tout à l'heure, on aura, pour toutes les valeurs entières de N,

er+2N7rv/=ï = er,

et la fonction e^ est périodique; sa période est 2Try/ — i.

L'équation

dx dy

â?(log^4-logJK) = 0,

qni peut aussi s'écrire

y dx -H X dy = o ou d xy = o

montre que logx* -|- logj^ et xy, ajant leurs différentielles nulles en même temps, sont constantes en même temps; on

peut donc poser

\o^x^\o^y=f{xy),

f désignant une fonction que nous déterminerons en faisant jc = I , alors \o^x = o, et Ton a

'ogjK = /(jk);

la fonction y* est donc un logarithme, et l'on a

logx-^\ogy = \ogxy.

Par suite, si l'on pose logx = u, logj^ = (^, on a

M -T- p = log(e"e^) ou enfin

Comme on le voit, la théorie des exponentielles et des logarithmes découle de la façon la plus simple des principes élémentaires du Calcul intégral.

La fonction logx ne saurait être algébrique, son inverse e^ par suite non plus; en effet, pour une même valeur de x, une fonction algébrique de x n'a qu'un nombre limité de valeurs se permutant les unes dans les autres.

VIL — Transcendantes auxquelles on est conduit par l'intégration des fonctions algébriques. — Intégrales abéliennes.

On sait intégrer les fonctions rationnelles à l'aide de la transcendante logarithmique. Il y a lieu de chercher à intégrer les fonctions algébriques; mais, quand on aborde ce pro-

DES TRA>'SCE>DANTES. iSg

blême général, on le trouve hérissé de difficultés : tout porte à croire que les intégrales des fonctions algébriques définissent des transcendantes nouvelles.

On a donné le nom d'intégrales abéliennes aux intégrales des fonctions algébriques irrationnelles.

VII. — Intégrales des fonctions algébriques du second ordre des fonctions circulaires et hyperboliques.

Soit y une fonction algébrique du second ordre définie par l'équation

(0 Xo72 + Xi7-4-X2=0,

Xo, X,, X2 désignant des poljnômes de degrés o, i, 2. Toute intégrale de la forme

dans laquelle j^ désigne une solution de l'équation (i) pourra s'obtenir au moyen des fonctions algébriques et logarithmiques,

D'abord, en supposant j = w ^' , l'équation (i) devient

Xo ^2-^X2+ -^ = o,

et u- n'est autre chose que la racine d'un polynôme du second degré; l'intégrale (2) est donc l'intégrale d'une fonction rationnelle de x et d'un radical de la forme \jax'^ -^ bx -^ c\ on a vu que Fintégrale (2) dépendait algébriquement et même rationnellement des intégrales simples

r"" dx r-^ dx r^

t/o sj \ — x'^ Jq / ih- 572 Jq

lesquelles pourraient elles-mêmes être rendues intégrales de fonctions rationnelles.

l/io CHAPITRE V.

Nous allons étudier directement la fonction arcsin^ définie par l'équation

r^ dx rcsina7= / -— =

le radical étant censé égal à -h i quand x est égal à sa limite inférieure. Voyons d'abord combien de valeurs cette fonction peut prendre pour chaque valeur de x ; tous les chemins qui conduisent de O en ^ peuvent se ramener à des lacets suivis du chemin rectiligne O x. Soit u la valeur de l'intégrale prise le long de ce chemin rectiligne : la fonction placée sous

le signe / a deux points critiques — i et + i, qui donnent

lieu à deux lacets (p. iS^).

Considérons l'un d'eux bdfca {fig- 5), le radical étant censé pris avec la valeur -J- i pour la valeur initiale x = o\

l'intégrale prise le long du bord bd sera

r^ dx TT

Jq y/i — 372 2

L'intégrale prise le long du cercle est nulle; l'intégrale relative au bord ca est égale à

En effet, quand la variable z a tourné le long du cercle dfc^

DES TRANSCENDANTES. I f\\

le radical a pris en c un signe contraire à celui qu'il possédait

en d, et c'est 7=^ qu'il faut intégrer le long de ca. L'in-

tégrale relative au lacet H- i est donc t:. On verrait de même que l'intégrale relative au lacet — i est — tc.

Maintenant supposons que la variable z, après avoir décrit le lacet + i , décrive encore ce lacet : le radical prend à la sortie du lacet une valeur égale et de signe contraire à celle qu'il avait à son entrée; si z décrit alors une seconde fois ce lacet, l'intégrale croîtra non pas de tt, mais de — iz, ce qui donnera o pour sa valeur totale, après avoir décrit deux fois le lacet; si l'on décrivait une troisième fois le lacet, on trouverait de nouveau tu pour valeur de l'intégrale, et la valeur du radical à la sortie serait — 1 , et ainsi de suite.

Si z, après avoir décrit le lacet -]- i, décrit le lacet — i , l'intégrale prendra la valeur tc — ( — -) ou 211, et le radical reprend à l'origine la valeur -f- 1 .

D'une manière générale, appelons A, B, G, . . . les valeurs de l'intégrale prise le long de l'un des deux lacets, et supposons que, après avoir parcouru plusieurs fois dans un ordre quelconque les lacets^ la variable z décrive le contour rectiligne O^, l'intégrale prendra la valeur générale

A — B + G — D ...dzFqz f*

le signe + ou — étant mis devant w, suivant que le nombre des intégrales A, B, C, ... est pair ou impair.

On peut toujours supposer que A^ B, B ^ C, C ^ D, . . . , car il serait inutile d'écrire des termes qui se détruisent; or A = — B = Gz= . . . =z dzTz : donc la valeur générale de l'intégrale que nous avons appelée arc sin^ est

Q.nT,-^U ou (2W-Hi)tC— M,

n désignant un entier. La fonction inverse de arcsin^ ou sin u jouira donc des propriétés suivantes :

s'm(2mz -{- u)= sin u, sin (2/171-1- 71 — m) = sin M.

Il est facile de voir d'ailleurs que la fonction sinu = .x^ définie par l'équation

(4) Tu=^'-^'

[équivalente à (3) si l'on ajoute que, pour m = o, on a ^ = o] est monodrome. Il ne pourrait y avoir d'exception à cette règle que si x se trouvait dans le voisinage des points — i et

-f- 1 (p. 1 2^) ; mais, si l'on pose x =^ i — ?-, on a

du 1

pour ^ = I , ^ = o. Or ^ est monodrome autour du point pour lequel on a ^ = 0; donc œ est aussi monodrome autour du point pour lequel x = i ; on verrait de même que x ne cesse pas d'être monodrome autour du point — 1 ; ainsi l'équation (3) définit sin^ comme fonction de u monodrome dans toute l'étendue du plan.