IX. — Formule fondamentale de la Trigonométrie

La formule fondamentale de la Trigonométrie rectiligne peut se déduire du Calcul intégral. Ainsi, en posant

r-^ dx

dx

- = arcsina?

et en adoptant cette formule comme définition de arcsinx, on aura, pour intégrale de l'équation

, . dx dy

l'équation

(2) arc sin^ + arc sinjK = arc sine,

DES TRANSCENDANTES. l43

OÙ c désigne une constante. Mais on peut intégrer autrement la formule (i) et l'écrire

dx )/\ — y'*' -^ dy \l \ — r'^ = o

ou

/ dx /i — y'^ -^ \ dy / 1 — ^'^ = «,

a désignant une nouvelle constante; en intégrant par parties, on a

OU, en vertu de (i),

x^i — y'^-^ys/i — x'^= a\

(2) montre que, pour ^ = 0, y = c; si Ton fait ici :r = o, on a y = a : donc a^ c^ et par suite

En appelant alors sin^ la fonction inverse de arc sin^ et en posant arc sin^ := a, arc sinj- = b,

a -[- b =^ arc sine ; on a, au lieu de (3),

sina /i — sm^b -\- sine /i — sin^a = sin(a + 6).

Les signes des radicaux se vérifient en faisant successivement a := o, b = o. C'est la formule fondamentale de la Trigonométrie.