X. — Intégrales des fonctions algébriques de genre zéro

On a vu que les fonctions algébriques pouvaient se classer par genres (p. 82). Les fonctions de genre zéro sont définies par des équations algébriques représentant des courbes unicursales, et l'on sait que, si jk est fonction algébrique de x de

l44 CHAPITRE V.

genre zéro, on peut exprimer ^r et y en fonction rationnelle d'un même paramètre t. L'intégrale

y dx ^ ou même cette autre

U = / Y{^x,y)dx,

dans laquelle F désigne une fonction rationnelle, peut toujours être calculée au moyen des signes ordinaires de l'Algèbre, y compris le signe log, c'est-à-dire en termes finis; en effet, si l'on remplace x Ql y par les fonctions rationnelles cp(i) et ^(^), on trouve

la quantité placée sous le signe / étant rationnelle en ^j on en conclut que :

Théorème. — Les fonctions rationnelles de x et d'une fonction de genre zéro peuvent toujours s'intégrer en termes finis.