V. — Sur les points singuliers

Nous avons dit que l'ensemble des valeurs de z-i , Z2, . . . , ^/^ ou des points représentés par ces variables constituait dans la théorie des fonctions de plusieurs variables un point analytique. En entendant le mol point dans ce sens :

Nous appellerons point singulier ou critique d'une fonction /(z-i^ Z.2, ..., z,i) un point où cette fonction cesse d'être monodrome, monogène, finie ou continue.

Nous distinguerons deux espèces de points critiques pour les fonctions/ qui restent monodromes, c'est-à-dire qui n'ont qu'une seule valeur en chaque point. Soit ai, a^-, ...,«« un point critique-, s'il existe une fonction F(^<, z^^ . . . ^ Zn) synectique en ce point et telle que /F n'ait plus le point «1 , «2) ' » ' ^cin pour point critique, nous dirons que ce point est un point critique ordinaire de/; s'il n'existe pas de fonction synectique en a,, «2, ..., an, telle que /F n'ait plus ce point pour point critique, on dira que le point critique en question est un point essentiel pour la fonction/.

Les points critiques ordinaires peuvent être des infinis ou des points à'' indétermination. Puisqu'un point singulier ordinaire de la fonction / est un point tel qu'il existe une fonction synectique F jouissant de cette propriété que le produit cp=/F soit synectique, on en conclut que /=::=;; si

cp est difi'érent de zéro au point critique, / est infini en ce point et le point critique sera ce que l'on appelle un infini; mais, si cp et F sont nuls à la fois, il pourra arriver que cp soit divisible par F; cependant nous devons faire abstraction de ce cas : le point considéré ne serait pas singulier; cp et F pourront se mettre sous les formes Py et QG (après leur avoir fait subir une substitution linéaire, si c'est nécessaire), P et Q

désignant des polynômes entiers en z, à coefficients synectiques en z^-, ^3, ... et y, G désignant des fonctions synec-

tiques. Le rapport ^ est bien déterminé, mais le rapport -^

est, en général, indéterminé et il dépend des rapports des variables; on a alors ce que l'on appelle un point dHndétermination.

Ajoutons qu^un point à l'infini peut être singulier; si en un point les variables ^,, ^2, . . . sont infinies, le point sera dit singulier de même espèce que le points, ^i o, ^2 = o, ...

de la fonction/! ^, -, •

Théorème I. — Une série entière, c'est-à-dire dont les différents termes Y q^ Vi, . . . , Y m, . . . sont des polynômes homogènes en z^, Z2, . . . , Zn de degrés o, 1,2,..., m, . . . , respectivement et qui reste convergente pour toutes les valeurs finies de ces variables, a nécessairem,ent un point essentiel à V infini.

Posons en effet

(0 /(^i, -^2, . , ^«) = Vo+Vi + . ..+ ¥,„ + ...;

si à l'infini y(^,, ...) ne présente pas de point essentiel, ,/f ^-> -r> '"■> ^•\ n'en présentera pas non plus, en supposant nulle l'une des variables z', c'est-à-dire que/ pourra se mettre sous la forme

e^) /(^' ■■')=rVm' •••'TJ:

G et H désignant des séries entières ou, si l'on veut, des fonctions synectiques à l'origine. Or, si cela était possible, en posante, = «1 1, Z2=^ a^t, ..,Zn = an tel z){t) ^f(^a^ t^a^t, ...), (i) deviendrait

(3) cp(^) = AoH-Ai^-i-...-t- A„ji'« + ...;

FONCTIONS SYNECTIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES. l3

'^{t) serait synectique par rapport à ^ et présenterait en général un point essentiel pour ^ = oo (nous supposons bien entendu, ce qui est possible, les a tels que les A ne soient

pas identiquement nuls); la fonction// —? —? •••? — j, «,,

r/o, . • . n'étant pas nuls, serait également douée d'un point

essentiel à l'infini et/f — -j — -> • • •? — - ) d'un point essentiel •^ \ai^t a-it Ci lit ) ^

à l'origine. Mais cette fonction s'obtient en faisant z^ = «, /, z., =z a-it^ ... dans /(-t^ ' ' ' ) ' ^^ aurait donc

^/ 1 I \ G{ait, a^t, . . .)

ait a^t ) H(ai^, «2^) • • •)

ce qui estabsurde sil'origine est unpointessentiel, G(ai ^, ...) et H(<2, ^, . . .) étant des séries convergentes ordonnées suivant les puissances croissantes de t.

Théorème II. — Une fonction synectique en chacun de ses points, excepté à V infini, et qui n'a pas de points essentiels même à l'infini, est un polynôme entier.

Une pareille fonction, en effet, est développable par la série de Maclaurin et le développement doit avoir un nombre limité de termes; sans quoi, en vertu du précédent théorème, la fonction aurait un point essentiel à l'infini.

Théorème III. — Une fonction toujours synectique, excepté en certains points singuliers, et qui n'a pas de points essentiels même à V infini^ est une fonction rationnelle.

En effet, soit /(^t, z<^, . . ., z^^ une fonction sans points essentiels, mais synectique, excepté en certains points singuliers; si l'on donne à 5o, . . . , z,i des valeurs fixes, la fonction /se réduira à une fonction synectique de z^, excepté en certains points où elle pourra être infinie sans avoir de points

essentiels ; elle sera donc rationnelle et pourra se mettre sous la forme

J{z„z,, ...,zn)- Bo--B,^.+...+~JV4'

Ao, A,, . . . , Bo, B|, . . . désignant des fonctions de^o? • • • i^n- Si, dans cette formule, on donne à Zf des valeurs différentes en nombre égal k p -{- q -{- i, on aura p -\- q -]- i équations du premier degré en Aq, A, , . . . , Bq, B< , ... qui détermineront les rapports de ces quantités 'à l'une d'elles, ces rapports dépendront de fonctions rationnelles des valeurs de y(:;,, Z2^ . . . ^ Zn) pour les diverses valeurs de Z\ ; ce seront donc des fonctions synectiques de z.^, ...,^/,, excepté en certains points singuliers non essentiels.

Considérons l'un de ces rapports, ou, si l'on veut, l'une des quantités A, B, on verra comme tout à l'heure qu'elle est rationnelle par rapport à z^ et que ses coefficients sont synectiques par rapport à ^3, 5/,, . . ., ^„, excepté en des points singuliers non essentiels, et ainsi de suite. Donc

est rationnelle par rapport à toutes ses variables.

VI. — Sur les intégrales multiples des fonctions de variables imaginaires.

Le premier qui se soit occupé des intégrales doubles des fonctions de variables imaginaires est M. Marie (XLIV^ Cahier du Journal de V École Polytechnique. — Sa théorie des fonctions imaginaires, Comptes rendus^ i853). En 1868, j'ai fait connaître une formule analogue à celle de Cauchj et qui permet, au moyen d'une intégrale multiple, d'exprimer une fonction des solutions de plusieurs équations simultanées ; enfin, MM. Picard et Poincaré ont essayé, ce dernier surtout (Acta mathematica^ 1887), d'édifier la théorie générale des intégrales multiples des fonctions de variables imaginaires.

FONCTIONS SYNECTIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES. l5

Nous allons analyser son Mémoire, en nous bornant au cas de deux variables.

Soi ty*(^, jk) nne fonction de deux variables imaginaires ^, j^ soit

imaginons que l'on établisse entre ç, r,, 5', t^' deux relations ou, si l'on veut, que l'on pose

^'= Cp3(5, t), 7)'= 04(5, 0-

Formons l'expression

f{x,y)dxdy =f{x,y){d'ç, -\- dr^ /— 1 ) {d^ -\- dr^' s/ — j)

=-f{x,y)[{d'^d^—dr^dT{)-^s/^^^(d^d-n'-^dr^d'c;)\\

nous appellerons intégrale double de/(^,jK) dxdy et nous désignerons parle symbole

f{x,y)dxdy l'expression

l'intégrale double en question est donc a priori susceptible d'une infinité de valeurs qui dépendent de la nature des relations établies entre ?, ^', v), r/, 5, t.

Si l'on considère le point défini dans l'hyperespace (t. TII, p. 182) par les variables ?, r,, 5', */)', établir entre ces variables deux relations, c'est les obliger à décrire une variété à deux dimensions, une surface : l'intégrale (i) sera prise le long de cette surface qu'il faudra, pour achever de définir fin tégrale(i), limiter à un certain contour que l'on se donnera au moyen de certaines inégalités entre 5 et ^; voilà donc le symbole

f{x,y)dxdy

j6 chapitre I.

nettement défini, et il ne nous reste plus qu'à faire connaître ses principales propriétés.

VIL — Sur une classe particulière d'intégrales doubles.

Désignons par //y une fonction des variables ^i ^x-y^ . . . , .r qui jouira des propriétés suivantes

posons dans cette fonction

et considérons l'intégrale double

, .Ay,i

v-//i:/'vt^--

prise le long d'une certaine surface limitée par un contour fermé C, le signe \ devant s'étendre à un système de n valeurs données aux lettres i et y. On pourra encore écrire

'=fflf^''^'-^'-^'''-'

cherchons la condition pour que l'intégrale V ne dépende pas de la surface le long de laquelle on intègre quand le contour G reste invariable; à cet effet, imaginons que les x deviennent

dY fonctions d'un paramètre a et exprimons que y- est nul ; on a

dx J J ^ dxk àot, as dt

fii T-\ ^ dsdt

-"^ dxâs dt

dxi d'^Xj

Nous désignerons par A, B, G les intégrales qui figurent au second membre, en sorte que

Intégrant par parties et observant que, sur le contour limitateur de la surface, les x ne varient pas,

R C r V r f "^^""J ^""^ -u V ^-^^J ^""^ ^""^ "^^'1 ri, rit '

^^ - -j j 2àV'^ didi '^ ~^ 2à'd^, ~d7~dt ^r'"^^'

on trouve de même

et, par suite, la formule (i) devient, en observant que les termes en fij se détruisent,

r ÇS^ 1 7 C/o' \^^k àxi àxj dxk àxj dxi dxk àxj^ (^.ryl On peut encore écrire cette formule ainsi .

t J J j^ Idx/, dxi dxj \ d{(x,s,t)

et alors, pour que -y- soit nul, il faut que le coefficient de ( {x/,,Xi,Xj) j^ ^^.^^ ^^^^ ^^^^. ^^ pourrait prendre ce déter-

minant de signe contraire à son coefficient et rendre -r- négatif. Ainsi, pour que l'intégrale V soit indépendante de la surface d'intégration, il faut et il suffit que l'on ait

' oxk àxi ôxj