XI. — Intégrales des fonctions algébriques de genre

Les intégrales des fonctions algébriques de genre zéro n'engendrent pas de transcendantes nouvelles; elles peuvent s'exprimer au moyen des fonctions algébriques et logarithmiques. Il n'en est pas de même des intégrales des fonctions de genre un et a fortiori des intégrales des fonctions de genre supérieur, comme nous ne tarderons pas à le démontrer.

Les intégrales des fonctions de genre i méritent d'être étudiées à part : on leur a donné le nom d'intégrales elliptiques. Si ^ désigne une fonction de x de genre i, x el y pourront s'exprimer, comme l'on a vu (p. 88), en fonction rationnelle d'un paramètre t et d'un radical R de la forme

R = '^at'* -f- bt^ -\- cV- -\- dt-\- e,

DES TRANSCENDANTES. l45

a, 6, c, d^ e désignant des constantes, en sorte que, si F(^,y) désigne une fonction rationnelle de x et dej^, l'intégrale elliptique

U = I F{x, y)dx

pourra se ramener à la forme

6(^, R) désignant une fonction rationnelle de t et de R.

XII. -- Sur l'impossibilité d'exprimer les fonctions abéliennes au moyen des signes ordinaires de l'Algèbre.

Les théories que nous allons exposer sont dues àLiouville {Journal de Crelle, t. 12 et 13; Académie des Sciences de Paris, 24 juin 1837).

Liouville appelle transcendantes de première espèce les fonctions algébriques de e"i, e"s . . . , logz^,, logi^o? . . . , ?^i, Wo^ • • , les lettres m<, Wo, . • • désignant des fonctions algébriques. On appelle transcendantes de seconde espèce les fonctions algébriques de e^i^e^--, . . . ,log(^4 ,log(^2 5 • . • j^o . • • , les lettres t^i , t^o ? • • • désignant des transcendantes de première espèce, etc.

Ceci posé, nous allons chercher la condition pour que l'intégrale abélienne I ydx^ ^^ y est une fonction algébrique,

soit exprimable par le moyen des fonctions algébriques exponentielles ou logarithmiques.

Supposons d'abord j y dx exprimable en fonction algébrique de fonctions de première espèce, et soit

Jydx=f{x,e^'^,e"'2, . . . , logwi, log W2, ..

Rien n'empêche de supposer qu'entre e"<, e"^, . . ., logi/,

logWoî ... il n'existe pas de relation algébrique, sans quoi, s'il en existait une, on pourrait remplacer log?^i , par exemple, par sa valeur au moyen des autres transcendantes.

Je dis que la fonction e"i ne saurait figurer dans le second membre de (i); en effet, remplaçant /par cp(e"i, x) ou même par cp(8, x) en posant e"i = 8, on aura

et, en différentiant,

(2) y = cp,(6,a.)ô^^+cp,(6,^),

où nous désignons, pour abréger, par o^ et Oo les dérivées

-r|) -p; mais cette formule (2) ne saurait avoir lieu, puisque

elle établirait une relation algébrique entre nos transcendantes, ce qui est contraire à notre hypothèse, à moins que les exponentielles qui y figurent dans les signes fonctionnels ne disparaissent identiquement. Si ces exponentielles disparaissent, on peut remplacer 8 par |jl8 ou même par une quantité quelconque, sans troubler l'égalité (2), et l'on a alors

(3)y = cp,(e,^)e^-i-cp,(0,^) = cp,(jA^)!^ô^ + ?2((A^);

d'où l'on conclut, en intégrant,

çp(6, 07)= cp({jL6,a7)-i- const.; la constante dépendra en général de [j., et l'on aura

Il ne faut pas oublier que (3) est une identité; (4) doit donc aussi être identique et avoir lieu quel que soit 8 ; on peut alors supposer 8=1 : on a alors

ce qui détermine ^{]^)\ (4) devient alors

0(6, 57)— cp(),:r;= cpd^e,^)— cp(|x,a7).

DES TRANSCENDANTES. l [\'J

Si l'on différentie successivement par rapport à 0 et |jl, on a

d'où l'on tire, en éliminant o,(8a, x)^

jj.cpi(tj., x) = 6cpi(0, x) = const, = <ï.

Ainsi

€t, en intégrant,

cp(6, a^) = a logO -f- 6,

Z* désignant une nouvelle constante; on a donc

cp (6, x) = a loge"i-r- ^ = aui-r- h\

la fonction cp ne contient donc pas d'exponentielles; donc '.

Une intégrale abélienne ne peut pas contenir d'exponentielles dans son expression, si elle est transcendante de première espèce.

Supposons maintenant que 9 :;= \o^u^, et, explicitant cette fonction, posons

(i) lydx = o{^,x),

En difFérentiant (i), on a

le second membre de cette formule doit être indépendant de 8 : on peut donc y remplacer 9 par 9 -+- |jl et l'on a identiquement

cpi(0 -\- IX, a;} ^ 4- (p2(0 -i- [X, x) = cpi(0, ^.) ^^^ 4- cp2(0, x).

U\ Ui

l48 CHAPITRE V.

En intégrant, on a alors

cp(6 -+- [X, ^) = cp(6, 57) 4- t];( [J.),

t!>(|jL) désignant une constante par rapport à .r; si l'on fait

Q ^ O; il vient

o{ix, x) = cp(o, a7)4-^j;(jJ.),

d'où, par soustraction,

cp(6-i-îx, 37) — cp(;x, x) = cp(0, ^) — cp(o, X).

Si l'on différentie alors successivement par rapport à [x

et 9, on a

cûi(6 -^ [x, x) — (^i{ix,x) = o,

cpi(e-i- [x, ^) — cpi(8, X) = o; donc

(2) ^lilJ-, ^) = Çi(9î ^) = const. = a, d'où

cp(ô, X) = «e-hè,

a el b désignant des constantes d'intégration, c'est-à-dire des quantités indépendantes de 9, mais pouvant dépendre de œ. On a donc

(3) ^{^, x) = I ydx = alo^Ui-^ b.

Mais on peut aller plus loin et prouver que a est constant. En effet, en vertu de (2), on peut poser

cp,(0-f-|j., a7) = a, ,

[JL désignant une constante; on a donc

cp(6 -h [JL, a?) = a6 -h ^1.

Changeant 9 en 9 — [jl, on aura

©(6-, x) = j y dx = a{^ — [x) ^ bû

or les valeurs de fydx données par celte formule et par (.^) ne peuvent différer que par une constante; donc

aÔ -^ b — a{^ — \x)— by = const.;

donc a'j.-i- b — bi doit être constant quel que soit |j., et, en particulier, en supposant a constant,

da , d(b — bi) ' dx dx '

quel que soit a ; par suite ^ = o et -^— ^^ — ^ = o; donc a est bien un nombre constant. Donc :

Théorème. — Si V intégrale \ y dx est une transcendante de première espèce, on a forcément

y dx ■= Z<o -1- A 1 log Hx -h A2 log Ui

a^^ Wi, «2> ••• désignant des fonctions algébriques A^ Ao, ... des constantes.

Ce premier théorème est de Liouville.

Maintenant supposons l'intégrale /jk <^^ exprimable au moyen d'une transcendante de seconde espèce, on pourra poser

j y dx = o(e«., e«-., ..., logWi,logW2, . . . ),

cp désignant une fonction algébrique de fonctions de première espèce et de e"i, e"î, . . ., logz^i, logz<2: • • •? ^^ i^,, «2, • • • les u désignant non plus des fonctions algébriques, mais des transcendantes de première espèce.

On prouvera, comme tout à l'heure, que e"i, e"^, ... ne

peuvent pas figurer dans l'expression de 1 y dx et que log Ui ,

logW2, • • • n'y entrent que sous forme linéaire avec des coefficients constants, en sorte que

y dx = Wo H- Aj log Wi -h k^Xo^u^^

l5o CHAPITRE V.

iio, «1, Uo^ ' • ' désignant des transcendantes de première espèce. Or Liouville trouve encore que Uq^ u^, . . ., u,i sont simplement algébriques; la démonstration se fait en posant

1 ydx^ cp(e^, x)^o{^, x),

ç désignant l'une des fonctions algébriques qui figurent dans Wo, Ui, Wo, . . .: en employant le même mode de démonstration que tout à l'iieure, qui réussit grâce à ce que les dérivées de cp sont algébriques par rapport à u^, U2, . . . , on prouve que e^ ne doit pas figurer dans Ui, 112, ... ; on voitdemême^ en posant

j ydx = o{\o^v, x)= cp(6, x),

que 9 ne peut entrer dans j ydx.

Le même raisonnement s'appliquerait au cas où j y dx

serait supposée transcendante de troisième espèce, et ainsi de suite ; donc enfin :

Théorème II. — Si une intégrale abélienne est exprimable à Vaide des signes de V Algèbre ordinaire en y adjoignant les signes logarithmiques ou trigonométriques, elle est nécessairement de la forme

(H) 1 y dx = Uq-^ AilogMj -h A2logM2 -h. . .,

Wo, Wn U2, ... désignant des fonctions algébriques et A,, A2, ... des constantes.

Abel a prouvé que Uq, w,, . . ., Un étaient des fonctions rationnelles de x et de y. Pour le voir, il suffit d'exprimer Wo, Wi , . . . en fonction rationnelle d'une même fonction algébrique \. Cette fonction \ satisfera à une équation irréductible à coefficients entiers en x; mais il est clair que l'on pourra d'une infinité de manières s'arranger de telle sorte que

DES TRANSCENDANTES. l5l

ses coefficients contiennent y. Piien n'empêche de supposer cette équation A = o irréductible en \; or, si l'on différentie l'équation (H), on obtient une relation rationnelle en ^,JK) A, qui peut servir à définir A. Or, l'équation considérée A = o étant irréductible, la relation rationnelle en question doit admettre toutes les racines de A = o pour une même valeur de ^r et de j^; en faisant alors dans (H) ). égal à chacune des racines de A = o et en ajoutant les résultats censés au nombre de |ji, on a

ti. / jK dx -=1.110-}- Al logll^i -\- A2 logll w^ -f-. . .;

mais S;^OJ H;/,, Iluo, - . . sont des fonctions symétriques des racines de A = o : ils s'exprimeront donc en fonction rationnelle de X et de j. c. q. f. d.

XIII. — Impossibilité d'exprimer les intégrales elliptiques à l'aide de transcendantes plus simples.

Nous avons vu que les intégrales elliptiques, ou intégrales des fonctions du premier genre, se ramenaient à la forme

fA^,<

(n Jf{R,x)dx,

R désignant la racine carrée d'un polynôme du troisième ou du quatrième degré et / une fraction rationnelle. Or toute fonction rationnelle de R et ;r peut se mettre sous la forme

A-f-BR (A-^BR)(C — DR) C -^ DK ~ G2 — D2R2 '

A, B, G, D désignant des fonctions entières, et par suite sous la forme