RS

La première intégrale s'obtient facilement, la seconde se décompose en d'autres de la forme

/;r'« d.T r dx K ' ,/ (:r— a)'«R

abstraction faite de facteurs constants, en décomposant la

fraction — en éléments simples.

Je vais prouver que l'intégrale la plus simple,

ne peut être exprimée au moyen des fonctions algébriques logarithmiques, etc. En effet, si une pareille expression était possible, on aurait, en vertu du théorème d'Abel démontré au paragraphe précédent,

y"^ = Po+QoR-^VA,Iog(P,--Q,R),

P/ et Qi désignant des fonctions rationnelles, que l'on peut, sans nuire à la généralité, supposer entières si t>o et A, désignant une constante-, mais je dis que l'on doit aussi supposer Pq et Qo ^entiers. En effet, supposons Pq ou Qo infinis

r"" dx pour X = a, Po 4- QoR sera infini, mais / -5- est nécessairement fini, quand même R- contiendrait le facteur x — a, car il ne saurait le contenir deux fois (sans quoi R se ramènerait à la forme (x — a)R', R' désignant un radical portant sur un polynôme du deuxième degré); donc il faudrait que l'une des quantités P/ + Q^R fût nulle pour ^^a, mais Po -f- QoR pour des valeurs de x voisines de a ne saurait être de même ordre infinitésimal que log(P/H-Q/R) qui est de

DES TRANSCENDANTES. l53

l'ordre de log(^ — a); donc Pq et Qo, ne devenant pas infinis, sont nécessairement entiers.

On peut supposer que l'intégrale qui figure dans (i) ait été prise le long d'un contour rectiligne ; alors, si l'on intègre

d'abord autour d'un lacet relatif à rr, la formule ( i ) devra être

remplacée par la suivante, où 8 désigne une constante,