r"^=Po-QoR-f-yA,log(P,-Q,R

et, en la combinant avec (i), on a

6 = 2Po+2A,log(P? - Ql R2), que l'on peut mettre sous la forme

6 = 2Po-l-^ wlog(;r — a),

m et a désignant des constantes. Cette formule est impossible si les termes logarithmiques qui deviennent infinis dans le second membre ne sont pas nuls, et alors Po est constant; on a donc

Po désignant une constante; différentions, nous aurons I «^R «?Qo

ou

ou

Soit

R- = ax'' -H bx^ -+- cx'^ -i- dx -+- e, Qo = Aa7"»-}-Ba7'«-i-i-.. .-i- Gx-hll,

on devra

avoir

2 =(Aa7'«-+-.

.. — H)(4aa^3

Ax'

ou, en identifiant,

2 = Hâ?-T-2eG, 0 = 4^^ + 2 m A a.

//^ devrait être égal à — 2, ce qui est absurde; ainsi, parmi les intégrales elliptiques auxquelles donnent lieu les fonctions algébriques de genre un, les plus simples, celles qui

sont de la forme

'dx

sont des transcendantes nouvelles. Le Chapitre suivant sera consacré à l'étude de ces transcendantes et de leurs inverses. Nous croyons devoir placer dans ce Chapitre un théorème général dû à Abel et dont nous ferons un fréquent usage.