XIV. — Théorème d'Abel

Dans une Note très succincte, Abel indique la possibilité de former des combinaisons linéaires d'intégrales de fonctions algébriques, exprimables au moyen des signes de l'Algèbre élémentaire. Au fond, le théorème d'Abel revient au suivant :

Soit

une courbe algébrique, réductible ou irréductible, de degré m ; si Von coupe cette courbe par une courbe algébrique de degré n à coefficients variables,

et si l'on appelle (^,, ji), (^2, 72), • • -, {^h Ji)^ • • • ^^^ a r= mn points d^ intersection de ces deux courbes, on aura la relation

¥{xi,yi)dxi

DES TRANSCENDANTES. Io5

F{x,y) désignant une fonction entière quelconque de degré au plus égal à m — 3, et /'^{^i y) désignant la-

dérivée -f • ày

Pour démontrer ce théorème, nous observerons que x^^ y^^ ^ii y-i-! ' ' • sont fonctions des paramètres contenus dans les coefficients variables de ^, ou, si l'on veut, de ces coefficients; si alors on fait varier ces coefficients et si l'on appelle dà la différentielle de ^ relative à ces coefficients, x et y restant constants, on aura, pour des valeurs quelconques de x eiy satisfaisant à (i) et (2),

àf ^ àf .

-^ dx -\- -^ dy = o,

dx ày -^

^dx-,--^dy-^d^=^o, ou bien, en éliminant dy,

à{x,y) ày

OU, en remplaçant -^ par/2(^, jk)?

F(x,y)dx d'\i¥(x,y)

M^, y) "^ \à(f, 4^)1 ~ ''• là(^,y)i

Si, dans cette formule, nous faisons successivement x =: Xi, X2, . . . , x^,el si nous ajoutons les résultats, nous aurons, en vertu d'un théorème démontré (p. 822, t. I), en observant

que F(^, y) d'\i est de degré inférieur à ^ ^S

¥(xi,yi)dxi

ce qu'il fallait démontrer.

XV. — Application du théorème d'Abel à un système hyperelliptique.

Soit X un polynôme du degré ip donné par la formule

X = «0 -T- <^l ^ -+- <^2 ^^ + • • • + Cilp ^^^

et X/ ce que devient ce polynôme quand on y fait x^Xi\ considérons la courbe

et coupons-la par une courbe variable de degré />

dans laquelle U désignera un polynôme entier de degré/?; les deux courbes se couperont en 2/? poinls(^<,jr<),(^2>JK2)' • ^ dont les abscisses x^ , .To, . . . , x^p seront racines de

Nous supposerons fixes les p intersections (^^,o J/?+i )i • ■> {x^p^y^p) ; il suffit pour cela de déterminer/? des p + i coefficients de U par les p formules

(4) yp+\='^p+U JK/.+2 = Uyj-^2, •• « 72p=U2p-

Alors, entre les/? points {x^,y^), . , . , (x^,^^) restés variables,

il exis

forme

il existera, en vertu du théorème d'Abel, des relations de la

ou

DES TRANSCENDANTES. iSj

F désignant un polynôme de degré ip — 3 en ^ q\ y arbitraire. En particulier, on aura

Tx dx\ x--> dx.i Xp dxp

f 37^-2 <i^i rrf-2 «ijC2 , ^^'~2 ^-^p

Si maintenant on considère ce système, il sera satisfait en prenant pour.^, , ^2» • . . , ^p les points d'intersection variables de (i) et (2), en sorte que pour intégrer le système (i) on formera l'équation (3)

on divisera son premier membre par {x — Xp^^), ..., {x — X2p)\ ^p+i, ' ■ - , x.2p étant connus, l'équation résultante

fournira alors x^^ x.2, . - • , Xp, et, si l'on a

R = \qxp-^ Ai^/^-14-. . .-4- A^, on en conclura

] XiXi^XxX^-^...-^XpXp+'^= ~,

(") \ Ao

- Ap

X\ X2 • • . Xp HZ — r — •

En éliminant entre ces équations le paramètre variable qui reste dans U, on aura/? — i relations entre Xi, X2, • • • , ^/j, qui seront les intégrales de (5) renfermant les constantes Xp^^ , Xp^2, ' ' ", ^2p qui se réduisent à/> — i .

On pourrait encore trouver sous forme algébrique les inté-

l58 CHAPITRE V.

grales de (5) en développant l'équation U- — X= o sous la

forme

FqX^p -+- PiX^P-^ + . . . -f- Psp = o,

sans exprimer que U prend des valeurs données pour

X = Xp-^i, . . . , X^p'

Alors on aurait

Pi

Xi-\- X^-h. . ■ -^ OC'ip — p- j

» 2p iCl 372 -^3 • • . ^ip = -K— '

En éliminant ensuite Xp^ -^p+ii • • -i ^2p el un coefficient de U, on aurait encore p — i relations entre ^,, ^o, . . • , ^y? et les coefficients de U qui seraient dans ce cas les constantes d'intégration.

Il résulte de là un fait curieux dont toute l'importance sera développée plus loin : les équations (5) ont pour intégrales, sous forme transcendante, les relations évidentes

= const., . . . ,

>^ r dxi -«-1 fxidx

et ces équations sont équivalentes à des équations algébriques qui sont les intégrales déduites des Considérations qui précèdent.