XVI. — Généralisation du théorème d'Abel

Le théorème d'Abel peut être généralisé comme il suit : Soient

/l(^l, OC2, ..., ^/t) = 0, ,

fn-\{Xu X2, ..., Xn) = 0

DES TRANSCENDANTES. 1 5g

n — I équations algébriques de degré m ; si nous leur adjoignons V équation à coefficients variables de degré p

et si nous désignons par

l'une quelconque des (jl :=pm^^~* solutions de(i)^ (2), nous aurons

idjfuf,, ..■,./;-i) 1 "'*'

F désignant un polynôme quelconque de degré m — 3.

La démonstration de ce théorème se fait comme celle du théorème précédent. On différentie les équations (i) et (2) par rapport aux coefficients àe fn, et l'on a

-^ dxx -h ~— dx^ -i- . . . 4- -^ dxa = o,

ÔX'^ OX=i OX,i

^Azldx,-^^-^dx.-^...-:-^^dx,,=0,

dxi 0x2 oXfi

et, en éliminant dx2, dx-i. . . . , dxn,

axi -I- «-r-: aj,i =■ o ,

d{Xi, X2, ..., Xn) d(X2, X-i, . . ., x„)

multiplions par F(x^, x^^ .... Xn) et divisons par

à{fuU .-..fn) djfuf,. .■•,/n-l)^ d{Xu X2, ..., Xn) à{X2, X3, ..., Xa) '

remplaçons ensuite Xi, x^^ . , . ^ Xn successivement par x^ ,, x^2'. • • • j X{n\ ' ' • -^n? ^i2i • • • 5 ^im • . • et ajoutons les

l60 CHAPITRE V.

résultats ainsi obtenus : nous aurons, en vertu du théorème (t. I, p. 822), la formule

qu'il fallait démontrer.

Nous aurons plus tard l'occasion de faire des applications de ce théorème qui donne toute la théorie des biquadratiques. gauches.

THÉORIE DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES. l6l

Préliminaires.

On a donné le nom ai intégrales elliptiques^ comme nous l'avons dit, aux intégrales de la forme

Jy{x, /X)

dx.

F désignant une fonction rationnelle de x et de y/X, etX un polynôme du troisième ou du quatrième degré ; c'est à cette forme que se ramènent les intégrales des fonctions algébriques de genre un.

C'est le comte Fagnano qui a attiré l'attention des géomètres sur ces nouvelles transcendantes par ses travaux sur la comparaison des arcs d'ellipse et de lemniscate. Euler a ensuite intégré l'équation

dx dy

v/A ic* H- BiF» -h Ga72 ^ Da7 -h E /Ajk* + B^3 , ç^yi , Djk -+- E

sous forme algébrique, et a ainsi fait faire le premier pas à la théorie des fonctions elliptiques {Noçi commentarii Petrop . , t. VI et VII). Lagrange {Mém, de Turin, t. IV, et Fonctions analytiques) a donné une méthode plus simple et plus naturelle pour résoudre la même question ; il a donné aussi une méthode pour transformer les unes dans les autres les intégrales elliptiques, en s'appuyant sur une découverte de Lau- ^v den, dont nous aurons l'occasion de nous occuper bientôt. L. — Traité d'Analyse, IV. ii

i6i €11 API tri: VI.

En 1811, Legendre a fait paraître un Traité volumineux, enrichi de Tables numériques, et qui contient tout ce qui avait été écrit jusque-là sur ce sujet; mais c'est à Jacobi et à Abel que nous devons la connaissance de la nature intime des fonctions elliptiques. Ces éminents géomètres ont eu l'idée d'étudier non plus les intégrales elliptiques, mais les fonctions inverses de ces intégrales, et ont été ainsi les véritables fondateurs de la théorie des fonctions elliptiques. On comprendra facilement l'importance du point de vue auquel se plaçaient Abel et Jacobi, si l'on réfléchit que les intégrales des fonctions de X et de ^ ax^ -\- bx + c donnent naissance aux fonctions circulaires inverses de celles que l'on considère en Trigonométrie, et qui sont bien plus importantes.

Il serait injuste de ne pas mentionner ici Cauchy et Puiseux, le premier pour nous avoir révélé l'origine des périodes, et le second pour nous avoir fait connaître la manière dont se permutent les racines des équations algébriques les plus générales et les diverses valeurs que peuvent prendre leurs intégrales. 11 serait également injuste de ne pas mentionner les admirables travaux de MM. Hermite, Liouville, Weierstrass, etc., qui ont éclairé d'une lumière si vive une théorie restée peut-être un peu obscure dans les Œuvres d'Abel et de Jacobi.

(Voir, Bulletin des Se. math., 2® série, t. III, décembre 1879, p. 489, un résumé historique de la Théorie des Fonctions elliptiques, par Kœnigsberger.)

nII. — Réduction des intégrales elliptiques à des types simples.

Soit F(.r, y/X) une fonction rationnelle de x et du radical y/X; on peut mettre F sous la forme

p^ A+By/X

G + Dy/x'

A, B, c, D désignant des polynômes entiers en ^; si alors on

THÉORIE DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES. l63

multiplie haut et bas par G — D \^X, on a

P, Q désignant de nouvelles fonctions entières; F se décompose alors en deux parties, l'une rationnelle que l'on sait intégrer, et l'autre de la forme

H désignant une fonction rationnelle, ou -— , G désignant

une nouvelle fonction rationnelle.

Nous n'aurons donc besoin que d'étudier les intégrales elliptiques de la forme

Et d'ailleurs rien ne suppose jusqu'à présent que le polynôme X soit du troisième ou du quatrième degré, de sorte que la réduction que nous venons de faire s'appliquerait encore aux intégrales dites ultra-elliptiques^ dans lesquelles X est d'un degré supérieur à quatre.

Mil. — Problème de la transformation.

Jacobi a donné le nom de problème de la transformation au suivant :

Etant donnée une expression de la forme

dx

oii X désigne un polynôme entier du quatrième degré en X, la changer en une autre de la forme

dv

l64 CHAPITRE VI.

Y désignant un polynôme entier du quatrième degré en y, au moyen d' un changement de variable de la forme

U et\ désignant des polynômes entiers en y que l'on peut supposer premiers entre eux.

Pour résoudre cette question, supposons

nous aurons

dx {V'Y — y'\])dy

v/X ~ /(U - aV)( U — PV)(U — yV)(U — 8 V)*

Pour que le second membre de cette formule soit de la forme -^j il est nécessaire que le polynôme placé sous le radical

soit le produit d'un carré par un polynôme du quatrième degré en y, mais cela ne suffît pas, il faut encore que le carré en question soit égal, à un facteur constant près, à U'V — V^U. Soit/? le degré des polynômes U, V ; le polynôme

P =, (U — aV)(U — PV)(U - yV)(U — s V)

sera du degré 4/?; le carré dont nous avons parlé est alors de degré ^p — 4j sa racine est de degré ip — 2; c'est précisément le degré de U'V — VU, si l'on observe que le degré de ce polynôme, en apparence ip — i , est en réalité ip — 2, les termes en ip — i se détruisant mutuellement.

Je dis maintenant qu'il suffit que le polynôme P se décompose en un polynôme du quatrième degré et en un carré, pour que la racine de ce carré divise U' V — VU et, par suite, soit égale, à un facteur constant près, à U'V — VU, en sorte que, pour que la transformation soit possible, il suffit que P soit le produit d'un carré par un polynôme du quatrième degré.

Si P est divisible par un carré, il sera le produit de facteurs doubles, provenant d'un même binôme U — aV, U — [3V, . . . ;

THÉORIE DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES. l65

en effet, U — aV et U — [^V ne sauraient avoir un facteur commun, sans quoi ce facteur diviserait leur différence (a — P) V et, par suite, V et U, qui par hypothèse sont premiers entre eux; mais, si U — aV, par exemple, admet un facteur double, ce facteur appartiendra à U' — aV ou à U'(U — aV)— U(U'— aVO, c'est-à-dire à son égal — a(U'V — VU): donc la racine du carré en question sera précisément U^V —VU, et il est facile de voir que notre raisonnement s'applique au cas où U et V seraient, l'un de degré /?, l'autre de degré p — i , parce que U' V — V^U serait encore de degré ip — 2.

^IV. — Transformation du premier degré.

Le degré de la transformation est le degré le plus élevé des polynômes U, V qui entrent dans l'expression de x en y. Dans la transformation du premier degré, on a

si l'on applique cette transformation à la différentielle

dx

elle devient

(ba' — ab') dy

^ \[i^b — ^b')y-^ a— aa'][(6 — '^b')y -^ a—^a'\../

la transformation du premier degré réussit donc toujours, et cela d'une infinité de manières; on peut alors profiter de l'indétermination de a, b, a', 6', pour faire disparaître un certain nombre de termes dans le polynôme Y qui figure sous le radical du polynôme transformé. On fera disparaître les termes de degré impair, en posant, par exemple,

- ia!){h -

nnnrfs ^ ^

dans ces formules il n'entre que les rapports —, ? y?; nous pou-

vons alors supposer a^= i , Z>'= i , et l'on a

a-^-bv

et les quantités a, b seront données par les formules

OU bien

2ab — (a -t- P)(a H- 6) -+- 2a[3 = o, 2ab — (y -h o)(a -r- 6) + 270 — o;

on en conclut

a et b sont donc racines d'une équation du second degré facile à résoudre.

Remarque I. — Si a -+- p = y -+- 0 = 25, notre méthode tombe en défaut; mais alors la transformation devient inutile, si son but est de faire disparaître les termes enj^ etjK'. En effet, on a alors

~ ( x^ — 'isx -+- ap)(a72 — Q,sx -+- yo )

= [(x — sy-^0L^ — 52] [(x — 5)2 4- YO — 52],

et, en prenante — s = y ou x ^= y -\- s, on a. une transformation très simple permettant de ramener la différentielle (1) à la forme voulue.

Remarque IL — Supposons a, j3, y, ù réels ou imaginaires conjuguées deux à deux; il est facile de voir que la transformation que nous avons faite conduit à des valeurs

réelles de a et h. En effet, pour que l'équation qui donne ces quantités ait ses racines réelles, il faut et il suffît que

(ap — Y0)2— [a^(Y-l-o) — Yo(aH-{i)](a-i- p — Y — o)>o;

car ah el a-\- b sont évidemment réels, rien n'empêchant de conjuguer a avec j^ et y avec â. Si l'on développe cette formule, on trouve

1° Supposons a, j^, y, o réels; on peut supposer

et cette formule se trouve satisfaite.

1^ Supposons a et ^ conjugués, y et o réels, a — y et ^ — y seront conjugués ainsi que a — 8, et ^ — ô; le produit

sera donc positif.

3° Si a et j3 sont conjugués, ainsi que y et 8, a — y et ^ — ô seront conjugués, ainsi que a — 8 et ^ — y, et le produit considéré sera positif.

Donc, on peut toujours, au moyen d'une transformation réelle du premier degré, faire disparaître de la différentielle -— où X est un polynôme à coefficients réels

du quatrième degré, les termes du degré impair; du reste, X prend la forme A(i-f- my^)(i -h ny^); A, m, n désignant des quantités réelles.

4 V. — Transformation du second degré.

Si les polynômes que nous avons appelés U et V sont du second degré, pour que la transformation réussisse, chacun des facteurs

u av, v-^y, u-yV, u — 5V

l68 CHAPITRE VI.

étant du second degré, il faut que deux d'entre eux soient des carrés parfaits ; nous poserons alors

U — aV

et t' désignant +1 ou — i , d'où l'on tire facilement ^

Quant à l'expression

yd\} -U^V

v/(U — aV)(U — l^Y)

on la calcule aisément en observant que le numérateur peut

s écrire

[(U aV)6/(U — ^iV) — (U — Î^V)^(U-aV)],

et que l'on peut supposer jk = o, vu que l'expression en question est de la forme dy x const. On trouve ainsi

dx is/tt'iab' — ba')dy

v/A(U— yV)(U-3V)

L'indétermination des polynômes U et V permettra de simplifier le polynôme Y placé sous le radical. Mais nous n'avons pas l'intention de pousser plus avant l'étude des transformations des divers degrés : ce que nous avons dit suffit pour l'objet que nous avons en vue; lorsque nous aurons dans la suite besoin d'effectuer une transformation, nous mettrons simplement à profit les remarques faites par Jacobi.

VI. — Applications du problème de la transformation à la réduction des intégrales elliptiques.

Nous avons vu que les intégrales elliptiques se ramenaient à la forme

Gdx

OÙ G désignait une fonction rationnelle de ^ et X un polynôme du troisième et du quatrième degré.

Si X est du quatrième degré, une transformation du premier ordre ou du second ordre ramènera, comme on l'a vu,

doc d'Y

— ^ à la forme -;-■> Y désignant un polynôme du quatrième

degré ne contenant pas de puissances impaires de y. Nous avons même vu que, si X avait des coefficients réels, Y avait des coefficients réels également.

Si X est du troisième degré, on peut ramener —— à la même forme; en effet, on peut poser

dx dx

. v/X v/A(;r-a)(^-p)(x-Y) prenant x — a = ^, on a

dx dz

S/X v/A^(^-i-a-[ii)(^-^a-Y) et, en faisant z =y-y

dx 1 dv

v/X v/A(r2-T-a-fi)(j=^^a-Y)

Le polynôme placé sous le nouveau radical est bien bicarré

et de plus réel si a est réel et p, y réels, ou conjugués.

Toute intégrale elliptique se ramène donc à des intégrales

de la forme

Gdx

où X est un polynôme du quatrième degré ne contenant pas de puissances impaires de x. On peut toujours supposer que G ne contient pas de puissances impaires de x non plus, car on a

^ A-f-Ba7

CIIAPIÏIIE VI.

A, B, C, D désignant des polynômes ne contenant pas de puissances impaires de ^; on a, par suite,

(A -^Bx){G — Bx)

G se décomposera donc en deux termes de la forme P et Q.r, P et Q désignant des fonctions rationnelles de x- : ainsi

G dcc f P dx fQ.^ dx

rCjdx rvdx r

Or l'intégrale / • se calculera par les procédés ordinaires

du Calcul intégral en prenant x^ pour variable, et le calcul d'une intégrale elliptique se trouve ramené à celui d'une inté-

grale de la forme

Pdx

où p désigne une fonction rationnelle de x^y et X une fonction entière du second degré de x"^. Dans cette intégrale nous supposerons

X = ax'* -i- bx' -h c.

Elle peut, en décomposant l'expression rationnelle P en éléments simples, se ramener à une somme d'autres de la forme

rx^"^dx r dx

OÙ A, m, a sont des constantes, dont la seconde m est nécessairement un entier. Or je dis que, dans la première intégrale, on peut toujours supposer m = ^ ou o; en effet, on a

d{x^P+^ ^ax^-\- bx-^^ c)

= (2j0 + i)x^P sj ax'* -T- bx' + c 4- iP^p+i - dx

L \J ax* -^ bx'^ -^ c\

OU

— ^ x[ip2p+4(2/? + 3)a -+- x^-P+^(ip -\- :t)b -^ x^P {2p ^ \)c];

^ax'' -h bx^-i- c

en intégrant, il vient

/x^P+'*dx __ x^P-^^\/X rip-hi b x^-P+^dx

V/X ~ {ip-h^)a ~J ip-\-3 a ^% /ip -\-\ c x'^P dx ip -^Z a 'pC '

formule qui permet d'exprimer successivement

/iP* dx r x^ dx 7^' J ~7^' ■■■

en fonction de

/dx fx^- dx

l'intégrale

/dx

se ramène aux intégrales précédentes et à

/dx

au moyen de la formule

= ï(x^ -+- a)P y/X -f- ixH.^^ H- a)P-ip y/X + f^^li^llil^'l^^,

laquelle est de la forme

A, B, G désignant des constantes; cette formule int" donne le moyen de calculer

da^-

en fonction de / — — — — ,^, de / — ~ et de / -y=- Au

surplus

r de

J (X'-^oc

est la dérivée d'ordre m — i relative à a de

(,)m-i /- dx

JVII. — Forme définitive des intégrales elliptiques.

Les intégrales elliptiques sont, d'après ce que nous avons vu, réductibles à trois types

r dx rx'^dx r dx

^'^ JW J 'W' J i^'-^^Wx'

OÙ X désigne un polynôme du quatrième degré ne contenant pas de puissances impaires de œ, ou de la forme

A(i-}- mx^){i-+- nx^),

A, m, n désignant des quantités constantes (réelles, si le polynôme primitif du quatrième degré a des coefficients réels). Si nous nous plaçons dans le cas général, A, m, n seront quelconques et, en posant ma:^ = — z-, on aura

dx — dz : '^ni

A- désignant une quantité quelconque réelle ou imaginaire.

THÉORIE DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES. lyS

Les trois intégrales (i) peuvent donc être ramenées aux formes

/dx r x'^dx

dx

ces trois intégrales portent le nom d'intégrales de première, de deuxième et de troisièm^e espèce; k est ce que l'on appelle le module. Legendre pose

alors les intégrales précédentes prennent les formes suivantes, auxquelles nous mettrons des limites,

do r^ sin2c5<ic5

Jr^ do r^

^ v/i-A-2sin2cp' J^

/ 1 — k'^ sin^cp do

(sin2çp -h oc) y/i — k'^ suV^o Legendre remplaçait la seconde intégrale par

Jv/i — A-2 sin^cp do.

qui n'en diffère que par une intégrale de première espèce. Sous cette dernière forme, l'intégrale de seconde espèce représente l'arc d'une ellipse dont les équations sont

X = \/i — ^2coscp, JK = sincp,

d'où est venu le nom d^intégrales elliptiques^ donné aux expressions que nous étudions. Quant à la troisième intégrale, il la considérait surtout sous la forme

(i-h /i2 sin2çp) y/i — A:2sin2(p La quantité cp est V amplitude et n est le paramètre. Pour

abréger l'éc ri tiire,Legendre désignait le radical ^i — k- sin^cp par Acp ; on a alors

=: sin am /

En appelant u l'intégrale de première espèce, Jacobi fait usage des notations suivantes

cp = amif, iP=sinamM,

\/ 1 — ip2 — cosami^, s/ 1 — k-x"^ = ù^diXnu'^

nous ferons usage des notations plus simples de Gudermann

x=^snu, \/ \ — x^ = cnu, yi — k^x'^=^àxiu.

4 VIII. — Réduction du module au-dessous de l'unité.

Lorsque les intégrales elliptiques de première, de seconde ou de troisième espèce proviennent de la réduction d'une intégrale de la forme

f¥{x, /\)dx,

dans laquelle X désigne un polynôme à coefficients réels, on peut toujours supposer le module A réel et inférieur à l'unité. En effet, par la transformation du premier degré, nous avons

vu que la différentielle -— se ramenait à la forme

(i) ^ =-du,

V/A(i -h mx~){\ H- nx'^)

A, m, n désignant des quantités réelles (i^Oi/- 1^ Remarque II, p. 1 66); maintenant, pour ramener cette différentielle à la forme

(.) Mrfr . •

/(i-r-Hi-Z'^j^)

OÙ M désigne une constante, eflectuons la transformation irrationnelle

nous aurons Z)du= (ba'-af)ydy

/A ( a' -I- 6>2)( a + by^) [( a' -\- m a) -hy^- (6' -t- m è)J[(a' + /i a) +72 (^,' + /i /> j ]

Pour que du affecte alors la forme (2), il suffît que l'un des facteurs placés sous le radical devienne égal ày^, et qu'un autre facteur se réduise à une constante ; les facteurs restants devront affecter la forme 1 — JK^, i — k^y^j en les divisant au besoin par des facteurs constants.

On devra donc avoir l'une des égalités

a', a, a' -{- ma, a'-i-/ia=o,

avec l'une quelconque des suivantes qui ne soit pas de même

rang

b',b, b'—mb, b'-{-nb=o,

ce qui constitue douze combinaisons.

Toutefois, comme on ne doit pas avoir ba' — ab'=o, ou

-, = V77 on ne devra pas prendre à la fois è =0, b'==o^ ni

a = o avec a' = o, ce qui réduit le nombre de nos combinaisons à dix.

Première combinaison : a' = Oj 6 = 0. — Le radical qui entre dans la formule (3) prend la forme

y\/Ab'a[ma-\~b'ymna^b'y^]

ou bien, faisant abstraction du facteur jk qui détruit celui qui entre au numérateur de du.

, / Ab' / b' \ / b' ^

y mna \ ma ) \ na"^

Pour que cette expression affecte la forme

à un facteur constant près, k étant moindre que un, il faut que

(4) kb'mna^o

et que

ma ' na

Ces deux dernières conditions seront remplies si l'on prend

— = — m et — ^ — k'-n: on devra donc avoir m = k-n: a a ^ '

cette condition sera satisfaite si m et n sont de mêmes signes,

car on peut toujours supposer n^ m en valeur absolue.

Si l'on suppose m el n positifs, — ou b'a sera négatif; la

formule (4) exige alors que A soit négatif. Si m et ^ sont

négatifs, — et b'a sont positifs, A doit donc être positif; donc :

Si A>>o, m<<o, Al < o, la transformation à employer sera

Si A <:^ o, /?z > o, ^ > o, il faudra prendre encore

my'^

cette transformation réussit, mais elle est imaginaire ; nous la rejetterons pour ce motif.

En discutant d'une façon analogue chacune des neuf autres combinaisons qui peuvent se présenter, on arrive à cette conclusion :

Pour ramener la différentielle (i) à la forme (2), où /: <^ i :

1° Si A >> O; m^ o, Al >> o, posez

m(i-72) 2° Si A > o, m <C o, 7? > o, posez

3" Si A ^ o, m <C o, /^ <; o, posez

4"^ Si A ^ o, m <] o, /i <^ o, posez

niJi 5*^ Si A <^ o, m <C o, /z ^ o, posez

ô*" Si A < o, m > o, /2 ;> o, aucune transformation réelle ne peut évidemment réussir.

Bien que l'on puisse réduire le module à être moindre que l'unité, il ne sera pas nécessaire dans la pratique d'effectuer cette réduction, ainsi qu'on le verra dans la suite. On pourra même faire usage de modules imaginaires.

v^IX. — Transformation de fcanden.

Proposons-nous de transformer l'expression

. , dx

ou une autre de la forme

mdy

A cet effet, effectuons une transformation du second degré X =^ ^\ pour que cette transformation réussisse, il faut que l'on ait identiquement

(V U)(V + U)(V - A-U)(V ^k\])= T2(, - j2)(i /,'2^2)^ L. — Traité d'Analyse, IV. 12

178 CHAPITRE YI.

et l'on peut essayer d'y satisfaire en posant

£ et £' étant égaux à zb i; si l'on prend a = a', les deux premières formules donneront

V = a H- k'cLy^.

U = aj(i + k')\

les deux dernières formules (3) donnent alors

a [, + k'y-L /,(i ^ k')y-\ = £(a -H byY, a[i + ky^ -i- k{\ -f- k')y] = £'(a'-r- 6'jk)2,

si l'on prend

Les premiers membres de ces formules seront des carrés parfaits, et la substitution

transformera la différentielle (i) en (2); d'ailleurs de (4) on tire

en effectuant la transformation, on a

dx dvd -i- k')

v/(i— ^2y(7:ir/:2^2^ ^ /(i— jk2)(i — A'^^^) En résumé, si l'on pose

yî- 7<a^uj6 > '^^^^^^pnniTj:: U^-a\

on aura

dx __ dy{\-\-k')

On peut donner une autre forme à ce théorème et dire que, si l'on pose

sin<p =

on aura

do d<i^(\-^k')

s/i — /»:2sin2çp ^ y/i — X:'2 sin^t]; /

(Landen, Philosophical Transactions^ 1770.)

0 X. — Interprétation géométrique.

Jacobi a donné une démonstration géométrique du résultat précédent [Math. Werke).

Considérons un cercle de rayon R {fig. 6); soient AB un

diamètre, C un point pris sur ce diamètre, O le centre. Soit OC = «, prenons un point M sur le cercle ; soient MCA = ^, MBA = cp ses coordonnées angulaires; en déplaçant ce point infiniment peu et en l'amenant en M', on a

^..., .. , MM' ii\do M.\l'=2Rû?9 et -TT7T —

v/a^H- R24- 2aR cos2cp

l8o CHAPITRE VI.

D'un autre côlé,

MM' sinM'CM d'^»

MG - sinCM'M ~ cosGMO

s/i — sin2GM0 / «^2 '

en égalant les deux valeurs de -^^^ , on a

2 R ^cp d^

v/(a + R)2 — 4aR sin2cp / a^sin^tj;

et, si l'on pose

on aura

^j . . A'2sin2p

i-\- k Enfin le triangle GOM donnera

.,. "'^* sin(2cp — d;) a

ce qui fera connaître o en fonction de (j^, ou vice versa. On donne quelquefois une autre forme à ces formules. On

pose k' = tang2-; \^ formule (2) devient alors

2 tang-

k = ^ = sin<

i + tang2-

de même,

■ + /" , + tang'-ie

,^. t/la>^(t»-'i;f«^'>^ ^«^'^«-^^^^^ ktt^^<>>l<="'^'^

THÉORIE DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES. l8l

de sorte que (i) donne

^^^^"9 / 4/ I — tang2-sin2t|;

Si tangQ «< I, tang'-- sera beaucoup plus petit que sin^. La

transformation de Landen permet donc de remplacer une intégrale elliptique par une autre de module plus petit; cette dernière sera plus facile à calculer par les séries. D'ailleurs, en appliquant plusieurs fois de suite la transformation de Landen, on a

^ v/i-sin2 6sin2cp ^cos^-^o y/i - sin^Ôisin^cp;

T r"^- doi

Qt2cos2?cos2^^o V^i " sin2 63 siii^ cpg

Du reste.

sinOi = tang- 6, sin62 = tang- 61,

de sorte que, 9/^ étant suffisamment petit, on pourra prendre

Jft V I — sin2 0,iSin-çD„

et l'on aura à peu près dfs>

mais, au lieu de faire plusieurs transformations successives, il vaudra souvent mieux faire usage de la formule

/>? do r"? i

J^ V^ I — A-2 sin2 cp Jo

l82 CHAPITRE VI.

si l'on développe la quantité qui multiplie ûfcp par la formule du binôme, on a

ou

r'^ ^? ^ k^/ sin2cp\

j^ y/r^r~yf2sin2tp ~ * 4 V ^ /

sin2cp + cp

>'XI. — Sur la moyenne arithmético-géométrique. Soient jn et n deux quantités positives arbitraires ; posons

m^ = , rii = \/ mn.

mi-+- ji]

rii = v/mi^ij

les quantités m^^ //Zg, 7723, . . . tendent vers une certaine limite; les quantités /i<, /lo, 713, . . . tendent vers la même limite que l'on appelle la moyenne arithmético-géométrique des nombres m et n.

D'abord les nombres m^ el n^ sont compris entre m et n, m2 et n2 sont compris entre m^ et n,, .... Ainsi, en se rappelant que la moyenne arithmétique de deux quantités est plus grande que leur moyenne géométrique, on voit que m^^ m2, m^i, . . . sont des nombres qui vont en décroissant sans devenir inférieurs à n^ ; ces nombres ont donc une limite [Ji. Les nombres n^, n2^ n^^ ... ont de même une limite v. Je dis que p. =^ v; en effet, on a

JT^p -+- np ,

nip^Y — — ^ ^ , /ip+i = V' ^'^P ^P '■)

THÉORIE DES I>^TÉGRALES ELLIPTIQUES. l83

on en conclut

rtip+x — rip^x = \Wnip — ^iipY

ou

s/nip+y — \/n

\Sirnp—sJjip)

ou

;(v/mp+i+ v//ip+i) 2 ( v/mp4-i + y/zip+i

s/nip^^ — s/jip^x < \ ( s/nip — s/jip) ;

les différences sjrup — sjrip vont donc en décroissant plus rapidement que les termes d'une progression géométrique de raison égale à ^, donc ^nip et ^rip ou nip et rip ont même limite : ainsi [Ji = v.

On peut déduire la valeur de \k des formules de transformation de Landen. Nous avons trouvé

do

^2sin2cp

sin(2 o — <\i)

siinj;

Si l'on fait (|> z= 2-, la dernière formule montre que (p = 2-; nous aurons alors, pour cp = 211,

c/cp

Maintenant posons

\/cos2 cp H- (i — A'^) sin2 (

'isjk

l84 CHAPITRE VI.

ces formules deviendront

1 + /c' Or, en supposant

m^ — , ji^ — sj mil,

l'égalité k = — ^, est satisfaite, et l'on a

/•'^ d^ ^ r'"" do

Jq \/"^i cos^tj; -f- nj sin^t]; J^ \/m'^ cos^cp H- n^ sin^cp On a donc, par un calcul de proche en proche,

/•^^ d^ /-^^ rfcp

J^ //n^ cos2çp + 7i2 sin^cp J^ v^m^ cos2 cp -H /i2 sin2 cp

et à la limite, en remplaçant rrip et rip par [x,

v/m^ cos^ cp -H /i2 sin^ cp

ou enfin

c?cp

/^ yjni'^ cos^ cp -f- /i^ sin^ cp

d'où l'on tire la valeur de la moyenne jji arithmético-géométrique, exprimée au moyen d'une intégrale elliptique. Cette solution a été donnée par Gauss.

THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. l85

^ I. — Étude de l'intégrale ii= j

Gdz

Proposons-nous d'étudier les diverses valeurs que peut prendre l'intégrale suivante où G, a, p, y, S sont indépendants de ^,

^^ r^ Gdz ^

''"Jo v/(^-a)(^-^)(^-Y)(^-o)'

quand on fait varier z en lui faisant suivre différents chemins.

Tous les chemins qui mènent de o en ^ peuvent se ramener au chemin rectiligne qui va de o en ^ (nous supposons que ce chemin ne rencontre aucun des points a, [3, y, 8, que l'on peut toujours éviter en décrivant un petit circuit autour de lui), précédé de un ou plusieurs lacets relatifs aux points critiques a, [3, y, 8 (p. i34).

Soit i la valeur de l'intégrale u prise le long du contour rectiligne O^, le radical étant pris alors avec une valeur bien déterminée, une fois pour toutes, que nous désignerons par -h V^i^Y^j pour ^ = 0. Soient A, B, G, D les valeurs de la même intégrale u prise le long des lacets dont la partie rectiligne va de O en a, de O en p, de O en y, de O en 8. Le radical étant toujours pris avec la valeur initiale que nous avons appelée 4- y/aj^yS :

1° Les chemins allant de O en ^ et pouvant se ramener au chemin rectiligne ont pour valeur «;

l86 CHAPITRE VII.

2" Les chemins se ramenant à un lacet suivi du chemin rectiligne Oz fournissent les valeurs A — î, B — ï, G — î, D — i de l'intégrale. En effet, l'intégrale prise le long du lacet relatif au point a est par hypothèse A; mais, quand le point z a décrit un lacet, le radical reprend en O une valeur égale à sa valeur initiale changée de signe; l'intégrale rectiligne à évaluer est donc

Gdz

^iz — o^)(z~^)iz-^)(z-o)

c'est-à-dire — i, et par suite l'intégrale obtenue en suivant un lacet (celui qui est relatif au point a), puis le chemin rectiligne O^, est A — /. c. q. f. d.

L'intégrale prise le long d'un lacet ne dépend d'ailleurs pas du sens dans lequel est parcouru le lacet; en effet, l'intégrale u prise autour du cercle relatif au lacet est nulle, et l'intégrale A se réduit à

Gdz r' G dz

r^ Gdz r

On a placé le signe — devant le second radical, parce que, z tournant autour du point a, le radical revient au point de départ sur le cercle du lacet avec sa valeur primitive changée de signe; on a donc toujours

r^ Gdz

3° Si le point z suit successivement plusieurs lacets qui,

parcourus isolément avec la valeur initiale -j- ya^yo du radical, donneraient les valeurs P, Q, R, S, . . . , V à l'intégrale w, puis le chemin rectiligne O^, l'intégrale w prend évidemment la valeur

(i) P-Q-R-S ...diVziiî,

le signe + ou le signe — étant placé devant i suivant que le nombre des lettres P, Q, . . . , V est pair ou impair.

Soit

mi(A — B)-^m2(A-- G)— m3(A — D) ^m4(B — G)-^m5(B--D)-^m6(G — D;r= H,

m^j JUo^ . . . ^ nîQ désignant des entiers positifs ou négatifs arbitraires; l'expression (i) est de l'une des formes

nous allons montrer qu'une partie de ces formes rentrent les unes dans les autres.

D'abord les quantités B — G,B — D,G — D peuvent s'écrire

et l'expression H se réduit à la forme

mi wi H- m^ W2 -+- ^3 0)3 = H, en posant

vùi^= A — B, CO2 = A — G, 0)3 = A — D.

Or, si l'on prend l'intégrale u le long d'un cercle de rayon infini, on obtient un résultat nul; on doit obtenir le même résultat en parcourant successivement les lacets; donc

A - B -^ G - D = o, ce qui peut s'écrire

tOi -r- 6)3 — (02 = O ;

ainsi W3 = too — Wi : l'expression H se réduit donc à la forme

mico, H- m2W2- Or on a

A — B=wi ou B— A — 0)1,

A — G = 0)2 ou G =A — 0)2,

A — D = 0)2 — o)i ou D = A — o)2-f-o>i;

donc toutes les expressions précédentes (2) sont des deux formes

mi o)i + m2 0)2 -T- i,

rriy o)i -H /n2 0)2 -h A — i, m^ et 1712 désignant des entiers arbitraires.